Zacharias/Analys-och-Linj-r-algibra
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

vault backup: 2025-11-18 15:03:14

Browse Source
This commit is contained in:
zacharias
2025-11-18 15:03:14 +01:00
parent 3d0926d746
commit 4763397f7a
1 changed files with 37 additions and 1 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

36
Gräsvärde (1).md
View File

@@ -53,4 +53,40 @@ $$
9. $\frac{a^n}{n!}\longrightarrow0$ då $n\longrightarrow\infty$
10. $\sqrt[n]{n!}\longrightarrow\infty$ då $n\longrightarrow\infty$
- **Ex**: $$$$
- Definitions
- **Def**: *Funktionen $f$ är kontinuerling i punkten $a$ om*
1. $a\in D_f$ *och*
2. $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$
- *På samma sätt, kontinuitet från höger och vänster med en-sidig gränsvärde.*
- **Def**: *Funktion $f$ är en kontinuerlig funktion på intervallet $I$ om $f$ är kontinuerlig i varje punkten $a\in I$*
- Remarks
- Eöementära funktioner är kontinuerliga på sina definitionsmöngder.
- **Ex**: $x^n;\;\;x^\alpha,\;x>0;\;\;a^x,\;a>0;\;\;\log_ax,\;a>0;\;\;\sin x;\;\;\arcsin x,\;x\in\left[-1,1\right]\;\;\text{etc.}$
- $f,\;g$ kontinuerlig då är följande kontinuerlig: $f+g,f\times g,\text{ och }f\circ g$
- $\frac{f}g$ kontinuerlig på definitionsmängden av $\frac{f}g$
- $f$ är strängt monoton kontinuerlig funktion $\Longrightarrow f^{-1}$ är kontinuerlig.
- **Ex**:
1. **Språng**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}x+2,\;x\geq1\\x+1,\;x<1\end{aligned}\right.$
- <graf 1>
2. **Hävbar**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}x^2+1,\; x\neq0\\-1,\;x=0\end{aligned}\right.$
- <graf 1>
3. **Lodrät asymptot**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac1{x+1},\;x\neq1\\0,\;x=1\end{aligned}\right.$
- <graf 1>
- <graf 2>
- <graf 3>
- $f(x)=\frac1x, x\in\left(0,\infty\right)$ $f$ är kontinuerlig på $\left(0,\infty\right)$. $f$ saknar *störta*/*minsta* värde
- Egenskaper:
- Satsen om mellanliggandevärden:
- **Theorem**: *Funktionen $f$ kontinuerlig i $\left[a,b\right]\Rightarrow f$ tar alla värde mellan $f(x)$ och $f(b)$ minst en gång*
- **Ex**: $f$ kontinuerlig funktion så att $f(-5)=3$ och $f(x)=-2$. Enlight satsen har $f$ minst ett nollställe.
- Extreamvärde:
- **Theorem**: *Funktionen $f$ är kontinuerlig på $\left[a,b\right]\Rightarrow f$ har ett största och ett minsta värde på $\left[a,b\right]$*
- Asymptoter
- Sned asymptot:
- **Def**: *En rät linje $y=kx+m$ är en (**sned**) asymptot till kurvan $y=f(x)$ då $x\longrightarrow\infty$ om $$\lim_{x\to\infty}(f(x)-(ax+b))=0$$. Formel: $$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$$ och $$b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax$$*
- På samma sätt för $x\longrightarrow-\infty$.
- Lodrät asymptot:
- **Def**: *En rät linje $x=a$ är en lodrät asymptot till kurvan $y=f(x)$ om $$\lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty$$ eller $$\lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty$$*
- Vanliga tenta frågor
- $$\begin{align}f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{\sin\alpha x}{x^3},\;x>0\\\beta,\;x=0\\\frac{\sqrt{1+2x^2}-1}{x^2},\;x<0\end{aligned}\right.\\\text{Bestäm }\alpha,\;\beta\text{ så att }f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}\\\text{Lös: }f(x)\text{ är kontinuerlig på }\left(0,\infty\right)\text{ eftersom }\sin\alpha x,x^3+x\\\text{är kontinuerlig \& däsmed }\frac{\sin\alpha x}{x^3}\text{ är kontinuerlig på }\left(0,\infty\right)\\f(x)\text{ ---||--- }\left(-\infty,0\right)\\\text{---}\sqrt{1+2x^2}-1,x^2\text{---}\\\text{---}\frac{\sqrt{1+2x^2}-1}{x^2}\text{---}\left/-\infty,0\right).\\f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}\text{ om det är kontinuerlig i x=0}\end{align}$$
-