vault backup: 2026-03-09 16:01:48

Linjär avbildning.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+**DEF**: *Funktionen $F$ kallas för en avbildning om $F:V_1\rightarrow{V_2}$ där $V_1,\;V_2$ är två  vektorer. Vidare kallas en avbilding för linjär om:*
+- *$F(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u})=F(\overrightarrow{u})+F(\overrightarrow{u})$*
+- *$F(\alpha\overrightarrow{u})=\alpha\times{F}(\overrightarrow{u})$*
+**EX**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då definierar $A$ en linjär avbilding från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$ genom följande: *$$\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\text{ (dvs. med hjälp av matrismultiplikation)}\\
+\left(\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4)=\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2\\u_3\\u_4
+\end{bmatrix}\right)
+\end{aligned}$$
+**EX**: *Vilken avbildning definieras av matrisen* $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\\
+\text{Räkna ut: }A\overrightarrow{u}=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+u_1+2u_2\\
+3u_1+4u_2
+\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\\
+F_A\left(\left(u_1,\;u_2\right)\right)=\\(u_1+2u_2,\;3u_1+4u_2)
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$
+**OBS**: *Följade bekanta begrepp är egenkligen linjära avbildningar*
+- *Derivatan: $\begin{aligned}\left(x^2+\sin(x)\right)'=\left(x^2\right)'+\left(\sin(x)\right)'=2x+\cos(x)\\\left(10x^2\right)'=10\times\left(x^2\right)'=10\times2x=20x\end{aligned}$*
+- *Den bestämnda integralen: $\begin{aligned}\int^1_0\left(x+x^2\right)dx=\int^1_0xdx+\int^1_0x^2dx=\dots\\\int^1_0(10\times{x})dx=10\times\int^1_ 0xdx=\dots\end{aligned}$*
+