vault backup: 2026-03-06 14:55:41

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -20,6 +20,7 @@ Double
 Diagonal
 Determinant
 DIMENSIONSSATS
+Diagonalisering
 Ett
 En
 Ex
@@ -128,6 +129,7 @@ enhetsmatrisen
 enher
 enhet
 enheter
+efter
 med
 moam
 matris
@@ -166,6 +168,7 @@ mot
 möjliga
 matriserns
 medger
+matrises
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -211,6 +214,7 @@ resultat
 räknad
 räknas
 rang
+räkna
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -254,6 +258,7 @@ korninatsystemet
 kombination
 korndinaterna
 kordinater
+kunna
 är
 än
 ändpunkten
@@ -325,6 +330,8 @@ standerdbasen
 signerade
 sägs
 späns
+spenns
+skälärprodukten
 av
 alla
 allmänt
@@ -406,6 +413,7 @@ deferminanten
 determinanten
 diaonal
 dana
+dimensonella
 Varje
 Variablar
 Variabeln
@@ -420,6 +428,8 @@ Visa
 VN
 VF
 Vilka
+Volym
+Volum
 innerh
 inte
 int
@@ -447,6 +457,7 @@ ibland
 ingen
 inversom
 istället
+innan
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -483,6 +494,8 @@ vektorerna
 varandra
 vektoerna
 viktigt
+volymen
+val
 och
 om
 ordning
@@ -542,6 +555,7 @@ ha
 hända
 händer
 höjdet
+hade
 gemmesamma
 gauss
 gäller
@@ -559,6 +573,7 @@ general
 genom
 gra
 gälla
+gamla
 för
 förekommer
 första
@@ -594,6 +609,8 @@ finnas
 fortsätning
 fira
 fallet
+före
+figuren
 term
 tal
 till
@@ -639,6 +656,7 @@ tt
 tirangel
 tar
 triageln
+tetraheder
 ut
 utgöt
 under
@@ -666,6 +684,7 @@ HmE
 HaW
 HRU
 Half
+Heltalspotenser
 Jauss
 Jämför
 Jf
@@ -719,6 +738,8 @@ bort
 bestämnda
 bas
 beräknar
+basbyte
+basen
 Ur
 Under
 Uk
@@ -754,6 +775,9 @@ pratar
 parallellogramen
 positiv
 parallella
+parallellogram
+parallellepiod
+parallelopipod
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -796,6 +820,8 @@ nN
 nNeO
 nolldimension
 när
+nellan
+nya
 Mist
 Mera
 Mindre
@@ -884,6 +910,7 @@ Koordinatrummet
 Kallas
 Kom
 Kolumnerna
+Kordinater
 Primärfunktioner
 Produkt
 Paramaterformen
@@ -922,6 +949,7 @@ Bmm
 BD
 BEVIS
 Betrakta
+Beräkna
 öppet
 över
 cos

.obsidian/workspace.json

@@ -20,6 +20,20 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Area och Basbyte"
             }
+          },
+          {
+            "id": "f156cc6a3efcf65c",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Diagonalisering.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Diagonalisering"
+            }
           }
         ]
       }
@@ -180,12 +194,13 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "701c0f423bffdcd3",
+  "active": "eb1bb5014b86fac7",
   "lastOpenFiles": [
+    "Diagonalisering.md",
+    "Area och Basbyte.md",
     "Matrisgeometri (Kap 5).md",
     "Egenvärderna (Kap 10).md",
     "Determinanter (Kap. 6).md",
-    "Area och Basbyte.md",
     "Ekvations System.md",
     "Matriser.md",
     "Vektorer.md",

Area och Basbyte.md

@@ -71,3 +71,12 @@ $\Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\time
 [ ]
 
 **FAKTA**: *Om $A$ är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen*
+
+**Diagonalisering**
+$$\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}$$
+**Heltalspotenser**
+*Hur skulle vi kunna räkna ut $A^{2026}$?*
+$$(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix}$$
+**EX**: *Beräkna $A^{2026}$ för $A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}$*$$\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$$

Diagonalisering.md

@@ -0,0 +1 @@
+$$$$