vault backup: 2026-02-04 14:53:16

Ekvations System.md

@@ -44,8 +44,65 @@ x+z&=&2
 \end{aligned}
 \Rightarrow
 \begin{pmatrix}
-
+1&-1&-1&|&1\\
+1&0&1&|&2
 \end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-1&-1&|&1\\
+0&1&2&|&1
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}$$
+		- *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}
+z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2
+\end{aligned}$$
+	9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+x-y-z&=&1\\
+x-y-z&=&2
+\end{aligned}
+\Rightarrow
+\begin{pmatrix}
+1&-1&-1&|&1\\
+1&-1&-1&|&2
+\end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-R_1\rightarrow{R_2}
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-1&-1&|&1\\
+0&0&0&|&1
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}$$
+		- *Sista ekvationer säger att $0=1\Rightarrow$ ekvationssystemet saknar lösning.*
+- **DEF**: *Ett ekvations system kallas homohen om hala $HL$ är noll* $$\text{EX: }\begin{aligned}
+x-y+z&=&0\\
+7x-3z&=&0
+\end{aligned}$$*För hohogena ekvations system gäller följande*
+	- *Exakt-bestämd + homogen $\Rightarrow$ Antigen: alla variablar är noll, eller oändligt många lösningar*
+	- *Över-bestämt system + homogen $\Rightarrow$ Antigen: alla variablar är noll($0,0,0,\dots,0$), eller oändligt många lösningar*
+	- *Under-bestämt system + homogen $\Rightarrow$ Oändligt många lösningar*
+- **För varje ekvations system med oändligt många lösningar kan lösningsmängden delas upp i två**: $$y''-2y'+y=x^2+1$$
+	- *Den homogena lösningen: den som löser samma ekvationer, fast med $HL$ lika med $0$*
+	- *Den partikulära lösningen: en lösning av ekvations systemet*
+	- **EX**$$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+x-3y+2z&=&3\\
+x-2z&=&3\\
+-3y+4z&=&0\\
+3x-3y-2z&=&9
+\end{aligned}
+\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}
+\begin{aligned}
+z=t,\;t\in\mathbb{R}\\
+y=\frac43\\
+x=2t+3
+\end{aligned}
+\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}
 \end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
@@ -54,4 +111,10 @@ x+z&=&2
 - **Radmultiplikation**: *Vi multiplicerar alla ellement i raden $i$ med en och samma nollstild tal $\lambda\in\mathbb{R}$: $\lambda\times{R_i}\rightarrow{R_i}\;\;\left(2R_1\leftarrow{R_1}\right)$*
 - **Radaddition**: *Vi adderar till varje element i raden $i$ en $\lambda$-mutipel av motsvarande element från raden $j$: $R_i+\lambda{R_j}\rightarrow{R_1}\;\;\left(R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\right)$*
 **Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
-**Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$
+**Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$
+
+**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$