vault backup: 2025-11-27 14:56:31
This commit is contained in:
21
.obsidian/workspace.json
vendored
21
.obsidian/workspace.json
vendored
@@ -133,6 +133,20 @@
|
||||
"title": "Differential"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "d693f26373e8dc42",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Primära Funktioner.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Primära Funktioner"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "76c8d943958d45bf",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
@@ -148,7 +162,7 @@
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"currentTab": 8
|
||||
"currentTab": 9
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"direction": "vertical"
|
||||
@@ -308,10 +322,11 @@
|
||||
"obsidian-git:Open Git source control": false
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"active": "46f7f5c1bc5d29b2",
|
||||
"active": "d693f26373e8dc42",
|
||||
"lastOpenFiles": [
|
||||
"Tenta Example.md",
|
||||
"Differential.md",
|
||||
"Primära Funktioner.md",
|
||||
"Tenta Example.md",
|
||||
"Gräsvärde (1).md",
|
||||
"Komplexa tal.md",
|
||||
"Grafer.md",
|
||||
|
||||
30
Primära Funktioner.md
Normal file
30
Primära Funktioner.md
Normal file
@@ -0,0 +1,30 @@
|
||||
**OBS Kontrolera, ALTID**
|
||||
- Definition
|
||||
- **Def**: *En funktion $F$ är en primär funktion till funktionen $f$ i ett intervall $I$ om $F'(x)=f(x)$ för varje $x\in{I}$*
|
||||
- $\left.\begin{aligned}F'_1(x)=f(x)\\F'_2(x)=f(x)\end{aligned}\right\}\Rightarrow F_1(x)=F_2(x)+C,\;\;C\text{ är godtycklig konstant.}$
|
||||
- *Beteckning: $\int{f(x)dx}=F(x)+C$ där $F$ är en partikulär primitiv funktion till $f$ och $C$ är en godtycklig konstant.*
|
||||
- **Ex**: *Visa att $\ln\mid{x+\sqrt{x^2+a}}\mid$ är en primitiv funktion till $\frac1{\sqrt{x^2+a}}$* $$\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\right)\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(\frac{d}{dx}\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\right)\text{ (kedjeregel)}\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(1+\frac1{2\sqrt{x^2+a}}\frac{d}{dx}\left(x^2+a\right)\right)\text{ (kedjeregle, linjärtet)}\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(1+\frac{\cancel2x}{\cancel2\sqrt{x^2+a}}\right)\\=\frac1{\cancel{x+\sqrt{x^2+a}}}\times\frac{\cancel{\sqrt{x^2+a}+x}}{\sqrt{x^2+a}}=\frac1{x^2+a}\\\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\text{ är en primär funktion till }\frac1{\sqrt{x^2+a}}\end{align}$$
|
||||
- Standerd Primetiv
|
||||
1. $f(x)=0\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=C$
|
||||
2. $f(x)=x^n\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}$
|
||||
3. $f(x)=x^\alpha\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\;\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-1\},\;x>0$
|
||||
4. $f(x)=e^x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=e^x+C$
|
||||
5. $f(x)=x^{-1}\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\ln\left|x\right|+C,\;x\neq0$
|
||||
6. $f(x)=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=-\cos x+C$
|
||||
7. $f(x)=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\sin x+C$
|
||||
8. $f(x)=\sec^2x=1+\tan^2x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\tan x+C$
|
||||
9. $f(x)=a^x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{a^x}{\ln a}+C,\;a>0$
|
||||
- Regler
|
||||
- *Låt $F$ vara så att $F'(x)=f(x)$*
|
||||
- **Linjäritet**: $\int\left(\alpha f+\beta g\right)dx=\alpha\int gdx$
|
||||
- **Sammansatt funktion**: $\int\left(f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\right)dx=F\left(g\left(x\right)\right)+C$ *I synnerhet*: $\int\left(f\left(ax+b\right)\right)dx=\frac1aF\left(ax+b\right)+C$
|
||||
- **Divition**: $\int{\frac{f'(x)}{f(X)}dx}=\ln\left|f(x)\right|+C$
|
||||
- **Partiell integration**: $$\begin{align}\int{\left(f\left(x\right)\right)dx}=\left(\int{fdx}\right)g\left(x\right)-\int\left(\int{fdx}\right)g'\left(x\right)dx\\=F\left(x\right)g\left(x\right)-\int{F\left(x\right)g'\left(x\right)dx}\end{align}$$
|
||||
|
||||
| **Integral** | $\sqrt{ax+b}$ | $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ | $\sqrt{x^2+a}$ |
|
||||
| ------------ | --------------- | ---------------------------- | ------------------ |
|
||||
| **Utbyte** | $t=\sqrt{ax+b}$ | $t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ | $t=x+\sqrt{x^2+a}$ |
|
||||
- Regler Example $$\begin{align}\text{Låt }g(x)=y\Rightarrow dy=g'(x)dx\\\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy\\F(x)+C=F(g(x))+C\end{align}$$
|
||||
- **Ex** $$\begin{align}\int\frac1{x^{1/2}+x^{3/2}}dx=I\\\text{Låt }y=\sqrt{x}\Rightarrow dy=\frac1{2\sqrt{x}}dx\\I=\int\frac1{\sqrt{x}\left(1+x\right)}dx=\int\frac2{1+x}\times\frac{dx}{2\sqrt{x}}\\=\int\frac2{1+y^2}dy=2\int\frac1{1+y^2}dy\;\;\left(\frac{d}{dx}\left(\arctan x\right)=\frac1{1+x^2}\right)\\=2\arctan y+C\\=2\arctan\sqrt{x}+C,\text{ där }X\in\mathbb{R}\\\text{prof: }\left(2\arctan\sqrt{x}\right)'\\=\cancel2\times\frac1{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\times\frac1{\cancel2\sqrt{x}}\\=\frac1{x^{1/2}+x^{3/2}}\checkmark\end{align}$$$$\begin{align}\int\cos\left(2x+\pi\right)dx\\=\frac12\sin\left(2x+\pi\right)+C\end{align}$$$$\begin{align}I=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}dx=-\ln\left|\cos x\right|+C\end{align}$$$$\begin{align}\left(F(x)g(x)\right)'=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)\\=f(x)g(x)+F(x)+g'(x)\\F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+F(x)g'(x)dx\end{align}$$$$\begin{align}\int\left(x^2-4x+5\right)\sin2xdx\\\stackrel{\text{PI}}{=}\left(\int\sin2xdx\right)\left(x^2-4x+5\right)-\int{\left(\int\sin2xdx\right)\left(x^2-4x+5\right)'dx}\\=-\frac12\left(\cos2x\right)\left(x^2-4x+5\right)+\frac12\int\left(\cos2x\right)\left(3x+4\right)dx\\\stackrel{\text{PI}}{=}-\frac12\left(x^2-4x+5\right)\cos2x+\frac12\left(\sin2x\right)\left(x-2\right)-\int\frac12\sin2xdx\\=-\frac12\left(x^2-4x+5\right)\cos2x+\frac12\left(x-2\right)+\frac14\cos2x+C\\=-\frac14\left[\left(2x^2-8x+10-1\right)\cos2x-2(x-2)\sin2x\right]+C\\=\frac{x-2}2\sin2x-\frac{2x^2-8x+9}4\cos2x+C\end{align}$$
|
||||
- **Ex kontrol** $$\begin{align}\int\left(\sin x^2\right)\left(2x\right)dx\\=-\cos x^2+C\\\text{prof: }\left(-\cos x^2+C\right)'\\=-\left(-\sin x^2\right)\left(x^2\right)'=\left(\sin x^2\right)\left(x^2\right)\end{align}$$
|
||||
-
|
||||
Reference in New Issue
Block a user