vault backup: 2025-11-26 16:53:02
This commit is contained in:
73
.obsidian/workspace.json
vendored
73
.obsidian/workspace.json
vendored
@@ -69,12 +69,12 @@
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Trigonometri.md",
|
||||
"file": "Gräsvärde (1).md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Trigonometri"
|
||||
"title": "Gräsvärde (1)"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
@@ -83,12 +83,54 @@
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Komplexa tal.md",
|
||||
"file": "Derivata.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Komplexa tal"
|
||||
"title": "Derivata"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "68837a4aa2729e39",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Grafer.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Grafer"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "6226fb790fca274b",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Tenta Example.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Tenta Example"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "46f7f5c1bc5d29b2",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Differential.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Differential"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
@@ -106,7 +148,7 @@
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"currentTab": 1
|
||||
"currentTab": 8
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"direction": "vertical"
|
||||
@@ -266,26 +308,29 @@
|
||||
"obsidian-git:Open Git source control": false
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"active": "ad6eb280b4b8718c",
|
||||
"active": "46f7f5c1bc5d29b2",
|
||||
"lastOpenFiles": [
|
||||
"MVT.png",
|
||||
"Tenta Example.md",
|
||||
"Differential.md",
|
||||
"Gräsvärde (1).md",
|
||||
"Trigonometri.md",
|
||||
"Komplexa tal.md",
|
||||
"Grafer.md",
|
||||
"Funktioner Forts.md",
|
||||
"Funktioner.md",
|
||||
"Derivata.md",
|
||||
"Definitioner.md",
|
||||
"Def_graf1.png",
|
||||
"TE1.png",
|
||||
"Trigonometri.md",
|
||||
"MVT.png",
|
||||
"Pasted image 20251119134315.png",
|
||||
"d_ex_1.png",
|
||||
"d1.png",
|
||||
"Funktioner.md",
|
||||
"Funktioner Forts.md",
|
||||
"Komplexa tal.md",
|
||||
"Grafer.md",
|
||||
"conflict-files-obsidian-git.md",
|
||||
"gv1.png",
|
||||
"k2.png",
|
||||
"k1.png",
|
||||
"f_inverse.png",
|
||||
"g2.png",
|
||||
"g1.png",
|
||||
"Untitled.canvas"
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
BIN
Def_graf1.png
Normal file
BIN
Def_graf1.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 5.0 KiB |
8
Definitioner.md
Normal file
8
Definitioner.md
Normal file
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
- **Lokal maximum punkt**: *i $x=x_0$ om $\exists\;\;a,b\in\mathbb{R}$ så att $x_0\in\left(a,b\right),\left(a,b\right)\subseteq D_f$ och $f(x)\leq f(x_0)\forall x\in\left(a,b\right)$
|
||||
- **Global maximum punkt**: *i $x=x_0$ om $f(x)\leq f(x_ 0)\;\forall\;x\in{D_f}$*
|
||||
- **Global extrempumkt**
|
||||
1. *Lokala extrampunkter*
|
||||
2. *Värde på ändpunkten. (Eller gränsvärde)*
|
||||
3. *Värde på punkter där derivata saknas(Kritiska punkter)*
|
||||
4. *Jämför 1,2,3.*
|
||||
- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=1-\mid{x}\mid\\f'(0)\text{ Existerar inte}\end{align}$$![[Def_graf1.png]]
|
||||
15
Derivata.md
15
Derivata.md
@@ -35,4 +35,17 @@
|
||||
- **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccot x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$
|
||||
- Medelvärdessats
|
||||
- **Theorem** *Om $f$ är kontinuerlig på slutet intervall $\left[a,b\right]$ och deriverbar på öppet intervall $\left(a,b\right)$, dår fins det minst en punkt $\xi\in\left(a,b\right)$ så att* $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$![[MVT.png]]
|
||||
-
|
||||
- Egenskaper
|
||||
- *Låt $f$ vara deriverbar i intevallet $\left(a,b\right). följande gäller$*
|
||||
1. *$f'(c)=0$ för något $c\in\left(a,b\right)\;\Rightarrow\;f$ har lokal extremvärde eller sadelpunkt i punkten $x=c$.*
|
||||
2. *$f'(x)=0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=C$, konstant funktion*
|
||||
3. *$f'(x)=g'(x)\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=g(x)+C$, Där $C$ är någon konstant.*
|
||||
4. *$f'(x)>0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt växande i $\left(a,b\right)$.*
|
||||
5. *$f'(x)<0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
|
||||
6. *$f'(x)\geq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt växande i $\left(a,b\right)$.*
|
||||
7. *$f'(x)\leq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
|
||||
- Andra derivata
|
||||
- **Betäkning**: $f''(x)$
|
||||
- **Definition**: $\frac{d^2f}{dx^2}(x):=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}(x)\right)$
|
||||
- **Ex**: $f(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x$
|
||||
- **Andra-derivatanstest**: $$\begin{align}\text{Låt }f\text{ vara deriverbar i punkten }x_0\;\&\;f'(x_0)=0\\1.\;\;f''(x_0)>0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal minimum.}\\2.\;\;f''(x_0)<0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal maximum.}\\3.\;\;f''(x_0)=0\Rightarrow\text{Vet ej.}\end{align}$$
|
||||
3
Differential.md
Normal file
3
Differential.md
Normal file
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
- **$dx$**: *oändlig liten förändring i $x$ värdet.*
|
||||
- **$df$**: *(motsvarande) oändligt liten förändring i $f$ värde.*
|
||||
-
|
||||
18
Tenta Example.md
Normal file
18
Tenta Example.md
Normal file
@@ -0,0 +1,18 @@
|
||||
**Rita graf till** $f(x)=-\frac{\ln x}x$
|
||||
$$\begin{align}1.\;\;D_f=\left(0,\infty\right)\\2.\;\;\text{Lodrät asymptot }x=0\\\text{Vågrät asymtot }y=0\\3.\;\;\text{Stationära punkten:}\\f(x)=\frac{\ln x}x\\\text{derivera m.a.p. }x\\f'(x)=-\frac{x(\ln x)'-(\ln x)(x)'}{x^2}\\=-\frac{x\times\frac1x-(\ln x)(1)}{x^2}\\=\frac{\ln x-1}{x^2}\\\text{Stationär punkten uppfyller }f'(x)=0\\\Leftrightarrow\frac{\ln x-1}{x^2}=0\\\Leftrightarrow\ln x=1\\x=e\end{align}$$
|
||||
*Täkentabell*
|
||||
|
||||
| | $e$ |
|
||||
| --------- | ----------------------------- |
|
||||
| $\ln x-1$ | $\;\;\;\;0\;\;+$ |
|
||||
| $x^2$ | $+++$ |
|
||||
| $f'(x)$ | $-\;0\;\;+$ |
|
||||
| $f(x)$ | $\searrow\rightarrow\nearrow$ |
|
||||
*Enlight tabellen har $f$ en lokal minimum punkt på $\left(e,-\frac1e\right)$ Punkten är också en global minimum*
|
||||
*Graf*![[TE1.png]]
|
||||
**Visa att** $x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e}$
|
||||
*Lösning: Från ovan:*
|
||||
$$\begin{align}-\frac{\ln x}x\geq-\frac1e\\\Leftrightarrow\frac{\ln x}x\leq\frac1e\Leftrightarrow\ln x^{\frac1x}\leq\frac1e\Leftrightarrow x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e}\\\text{(ty ln är strängt vexande)}\end{align}$$
|
||||
**Koraste avtåndet av**: $\left(0,1\right)$ till kurvan $x^2-y^2=1$
|
||||
$$\begin{align}\text{Lösn: Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till en punkt }\left(x,y\right)\text{ ges av}\\d)\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1}\\\text{Punkten }\left(x,y\right)\text{ ligger på kurvan om }x^2-y^2=1\\\text{Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till }\left(x,y\right)\text{ på kurvan är }\\d=\sqrt{1+y^2+y^2-2y+1}=\sqrt{2y^2-2y+2}\\\Rightarrow d^2=2y^2-2y+2\end{align}$$
|
||||
*Notera att $d$ och $d^2$ har minimum värde på samma punkt. Definiera* $$\begin{align}f(y)=d^2=2y^2-2y+2\\\text{Derivera m.a.p. }y\\f''(y)=4>0\\\text{Stationär punkt:}\\f'(x)=0\Leftrightarrow4y-2=0\Leftrightarrow y=\frac12\\f''(\frac12)=4>0\\\text{sum: }y=\frac12\text{ ger minimum värde för }f\\\text{sum: avståndet är minst då }y=\frac12\text{ Mista avståndet är}\\d_{min}=\sqrt{s\times\left(\frac12\right)^2-\cancel{2\times\frac12}+2}=\sqrt\frac32\\\text{Närmaste punkten}\\x-\left(\frac12\right)^2=1\Leftrightarrow x^2=\frac54\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt5}2\\\text{sum: }\left(-\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\&\left(\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\\\text{Kontroll: }\sqrt{\frac52+\left(\frac12-1\right)^2}=\sqrt{\frac54+\frac14}=+\sqrt\frac32\end{align}$$
|
||||
Reference in New Issue
Block a user