vault backup: 2026-02-26 16:22:06

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -103,6 +103,14 @@ equal
 equations
 ekvationen
 em
+egenvärdarna
+egenvärden
+engenvärdena
+egenvektor
+egenvärde
+egenskap
+endast
+egenvektorer
 med
 moam
 matris
@@ -136,6 +144,7 @@ measured
 mellan
 matrisen
 mängden
+multiplicitet
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -177,6 +186,9 @@ rätviklig
 rektangle
 räkneregler
 realla
+resultat
+räknad
+räknas
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -204,6 +216,11 @@ kvadratisk
 kända
 kvar
 kvadratiska
+kofaktormatris
+kavaktieiska
+karakterisktiska
+kalla
+kolumnmatris
 är
 än
 ändpunkten
@@ -263,6 +280,8 @@ standerd
 skulle
 summa
 skriva
+sammanfaller
+shcema
 av
 alla
 allmänt
@@ -298,6 +317,7 @@ also
 are
 använda
 anta
+alltid
 där
 det
 den
@@ -337,6 +357,7 @@ determinant
 deferminanten
 determinanten
 diaonal
+dana
 Varje
 Variablar
 Variabeln
@@ -373,6 +394,7 @@ identitersmatrisen
 invers
 inverser
 index
+ich
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -399,6 +421,7 @@ vars
 vinkeln
 vanliga
 vet
+vata
 och
 om
 ordning
@@ -424,6 +447,8 @@ odd
 okänd
 ordningen
 ojämt
+ohc
+oberoende
 hat
 herstamade
 här
@@ -442,6 +467,7 @@ hJ
 hBf
 hence
 ha
+hända
 gemmesamma
 gauss
 gäller
@@ -488,6 +514,7 @@ function
 fuction
 funkar
 find
+finnas
 term
 tal
 till
@@ -523,6 +550,8 @@ talet
 talen
 termer
 ta
+triangul
+tirangulär
 ut
 utgöt
 under
@@ -538,6 +567,7 @@ uZ
 unit
 uppfyller
 utvald
+upprepas
 HL
 Hur
 HmE
@@ -567,6 +597,7 @@ Solve
 Similarly
 Som
 SATS
+Samma
 börjar
 bestämmer
 befiner
@@ -619,6 +650,8 @@ plane
 penmutationer
 permutation
 parytor
+polynom
+produkten
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -642,6 +675,7 @@ Obs
 Oqj
 OL
 Op
+Observera
 nga
 nollställen
 nu
@@ -724,6 +758,8 @@ Fr
 For
 FAKTA
 Fins
+Föreläsning
+Följande
 Global
 GD
 Graf
@@ -737,6 +773,7 @@ KKK
 Koraste
 KZ
 Koordinatrummet
+Kallas
 Primärfunktioner
 Produkt
 Paramaterformen
@@ -820,6 +857,7 @@ Nutth
 Nd
 Note
 Negatives
+Nollställena
 WT
 Wn
 Wdj

.obsidian/workspace.json

@@ -22,20 +22,35 @@
             }
           },
           {
-            "id": "91afe3b628f39918",
+            "id": "80e9057cf6d4aa05",
             "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "Ekvations System.md",
+                "file": "Egenvärderna (Kap 10).md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Ekvations System"
+              "title": "Egenvärderna (Kap 10)"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "bda857902ed8a5fc",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Matrisgeometri (Kap 5).md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Matrisgeometri (Kap 5)"
             }
           }
-        ]
+        ],
+        "currentTab": 2
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -67,7 +82,7 @@
             "state": {
               "type": "search",
               "state": {
-                "query": "transponering",
+                "query": "",
                 "matchingCase": false,
                 "explainSearch": false,
                 "collapseAll": false,
@@ -88,7 +103,8 @@
               "title": "Bookmarks"
             }
           }
-        ]
+        ],
+        "currentTab": 1
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
@@ -194,10 +210,12 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "334286c6c273f693",
+  "active": "bda857902ed8a5fc",
   "lastOpenFiles": [
-    "Ekvations System.md",
+    "Egenvärderna (Kap 10).md",
+    "Matrisgeometri (Kap 5).md",
     "Determinanter (Kap. 6).md",
+    "Ekvations System.md",
     "Matriser.md",
     "Vektorer.md",
     "Maclaurin.md",

Egenvärderna (Kap 10).md

@@ -0,0 +1,84 @@
+**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$
+**OBS**:
+- *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$
+- *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$
+**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}13&4&8\\-6&-1&-4\\18&-6&-11\end{bmatrix}\\\text{Vi beräknar:}\\\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}13-\lambda&4&8\\-6&-1-\lambda&-4\\-18&-6&-11-\lambda\end{vmatrix}=\\(13-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&-4\\-6&-11-\lambda\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-6&-4\\-18&-11\lambda\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}-6&-1-\lambda\\-18&-6\end{vmatrix}\\(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\end{aligned}$$
+**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, ich anta att $A$ antigen är diagonal eller triangulär (över eller under). Då sammanfaller engenvärdena med matrisens diagonala element*
+**BEVIS**: *Observera att matrisen $A-\lambda I$ är också diagonal eller tirangulär. Men för sådana matriser är determinanten lika med produkten av diagonala element (Föreläsning 12)*$$\begin{aligned}\Rightarrow P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^{m}(a_{ii}-\lambda)\\\Rightarrow P_A(\lambda)=0\text{ precis för }\lambda=a_{11},\;\lambda=a_{22}\;\dots,\;\lambda=a_{mm}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $\lambda$ vara ett av matrisens egenvärden. En $m\times1$ kolumnmatris $\overrightarrow{x}$ kallas för en egenvektor tillhörande $\lambda$ om $\overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ och $A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$*
+**OBS**:
+- *Varje egenvärde har minst en egenskap*
+- *Om ett egenvärde upprepas, kan vi endast ha en linjärt oberoende egenvektor*
+- *Följande kan också hända: För ett egenvärde som upprepas $k$-gånger kan det finnas $k$ linjärt oberoende egenvektorer*
+- *Egenskaper räknas ut med hjälp av ett gauss shcema*
+**EX** $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-1
+\end{bmatrix},\text{ där vi redan har beröknat att }\lambda=\pm1\text{ egenvärdena}\\
+\text{Vad är de motsvarande egenvektorerna?}\\
+\begin{aligned}
+\text{Vilket schema?}\Rightarrow\begin{aligned}
+VL=A-\lambda I\\
+HL=\overrightarrow{o}
+\end{aligned}
+&&
+\begin{pmatrix}
+A\overrightarrow{x}&=\lambda\overrightarrow{x}\\
+A\overrightarrow{x}-\lambda\overrightarrow{x}&=\overrightarrow{0}\\
+\left(A-\lambda I\right)\overrightarrow{x}&\overrightarrow{0}
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}\\
+\lambda=+1:\begin{pmatrix}
+1&-3&|&0\\
+3&-3&|&0
+\end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-3R_1\rightarrow{R_2}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-1&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{x}\\=\begin{bmatrix}
+x\\y
+\end{bmatrix}\text{ Där }\begin{aligned}
+y=t\text{ (fri variable)}\\
+x-y=0\Rightarrow x=t
+\end{aligned}\\\\
+\lambda=-1:\begin{pmatrix}
+3&-1&|&0\\
+3&-1&|&0
+\end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+3&-1&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\\
+\begin{aligned}
+\frac13R_1\rightarrow{R_1}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-\frac13&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
+y=t\text{ (fri variable)}\\
+x-\frac13y=0\Rightarrow x=\frac13t\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
+x\\y
+\end{bmatrix}
+=\begin{bmatrix}
+\frac13t\\
+t
+\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}
+\frac13\\
+1
+\end{bmatrix}
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -0,0 +1,8 @@
+**OBS**: *En $m\times{n}$ matris kan tänkas bestå av $n$ stycken $m\times1$ kolumner*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix}$$
+**EX**: $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$$
+**OBS (fortsätning)**: *Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot rader*$$A^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+**OBS**: *Vad händer om vi har tvp $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}
+1\\2\\3
+\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}
+7\\8\\9
+\end{bmatrix}$$