vault backup: 2026-02-23 16:06:43

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -177,6 +177,7 @@ rätviklig
 rektangle
 räkneregler
 realla
+resultat
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -204,6 +205,8 @@ kvadratisk
 kända
 kvar
 kvadratiska
+kofaktormatris
+kavaktieiska
 är
 än
 ändpunkten
@@ -399,6 +402,7 @@ vars
 vinkeln
 vanliga
 vet
+vata
 och
 om
 ordning
@@ -424,6 +428,7 @@ odd
 okänd
 ordningen
 ojämt
+ohc
 hat
 herstamade
 här
@@ -523,6 +528,7 @@ talet
 talen
 termer
 ta
+triangul
 ut
 utgöt
 under
@@ -567,6 +573,7 @@ Solve
 Similarly
 Som
 SATS
+Samma
 börjar
 bestämmer
 befiner
@@ -619,6 +626,7 @@ plane
 penmutationer
 permutation
 parytor
+polynom
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -737,6 +745,7 @@ KKK
 Koraste
 KZ
 Koordinatrummet
+Kallas
 Primärfunktioner
 Produkt
 Paramaterformen

.obsidian/workspace.json

@@ -22,20 +22,21 @@
             }
           },
           {
-            "id": "91afe3b628f39918",
+            "id": "80e9057cf6d4aa05",
             "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "Ekvations System.md",
+                "file": "Egenvärderna (Kap 10).md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Ekvations System"
+              "title": "Egenvärderna (Kap 10)"
             }
           }
-        ]
+        ],
+        "currentTab": 1
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -194,10 +195,11 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "334286c6c273f693",
+  "active": "80e9057cf6d4aa05",
   "lastOpenFiles": [
-    "Ekvations System.md",
     "Determinanter (Kap. 6).md",
+    "Egenvärderna (Kap 10).md",
+    "Ekvations System.md",
     "Matriser.md",
     "Vektorer.md",
     "Maclaurin.md",

Egenvärderna (Kap 10).md

@@ -0,0 +1,61 @@
+**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom*
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Låt }A=\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-2
+\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\
+\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-2
+\end{bmatrix}-
+\begin{bmatrix}
+\lambda&0\\
+0&\lambda
+\end{bmatrix}=
+\begin{bmatrix}
+2-\lambda&-1\\
+3&-2-\lambda
+\end{bmatrix}\\
+\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=
+\begin{vmatrix}
+2-\lambda&-1\\
+3&-2-\lambda
+\end{vmatrix}=
+(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\
+=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\
+\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}
+\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$
+**OBS**:
+- *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$
+- *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$
+**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}
+13&4&8\\
+-6&-1&-4\\
+18&-6&-11
+\end{bmatrix}\\
+\text{Vi beräknar:}\\
+\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}
+13-\lambda&4&8\\
+-6&-1-\lambda&-4\\
+-18&-6&-11-\lambda
+\end{vmatrix}=\\
+(13-\lambda)\begin{vmatrix}
+-1-\lambda&-4\\
+-6&-11-\lambda
+\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}
+-6&-4\\
+-18&-11\lambda
+\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}
+-6&-1-\lambda\\
+-18&-6
+\end{vmatrix}\\
+(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\
+=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\
+=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\
+=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\
+(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\
+=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)
+\end{aligned}$$