Analys-och-Linj-r-algibra/Area och Basbyte.md

left=-5; right=5;
top=5; bottom=-5;
---
([0,0],[0,1])
([0,1],[0,0])
0 < y < 1 {0 < x < 1}

En area enher av parallellogramet som spänns up av vektorerna. Standerdbasen \overrightarrow{e_1},\;\overrightarrow{e_2} utgörs av korndinaterna av $$\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}$$ DEF: En "standerd area enhet" är lika med talet \det{I}=1. Om det är underförstått att vi jobbar med standerdbasen, då pratar vi endast om "area enheter".

DEF: Den signerade arean (dvs. arean med signerade + eller -) av parallellogramen som spänns uo av vektoerna $\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2),\;\overrightarrow{v}=(v_1,\;v_2)\in\mathbb{R}^2$är leka med determinanten av matrisen vars kolumner utgörs av \overrightarrow{u} och $\overrightarrow{v}$

Om vi har en tirangel istället, få tar vi \frac12 av den här determinanten OBS: ordingen av \overrightarrow{u} och \overrightarrow{v} är viktigt:$$\underset{\substack{\parallel\u_1v_2-v_1u_2}}{\det(\begin{bmatrix} u_1&v_1\u_2&v_2 \end{bmatrix}}=-1\underset{\substack{\parallel\v_1u_2-u_1v_2}}{\det(\begin{bmatrix} v_1&u_1\v_2&u_2 \end{bmatrix}}$$

DEF Två vektorer \overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v} sägs vara positiv orienterad om den signerade arean som späns upp av \overrightarrow{u} och \overrightarrow{v} är positiv

OBS Om \overrightarrow{u} och \overrightarrow{v} är parallella, då$$\det(\underset{\substack{ \wedge\\parallel\\vee\ \text{parallellogramen som spänns up av \overrightarrow{u} och \overrightarrow{v} har area }0 }}{\begin{bmatrix} u_1&v_1\ u_2&v_2 \end{bmatrix}})=0\Leftrightarrow\text{}\text{kolumnerna är linjärt levande}$$

left=-1; right=5;
top=1; bottom=-1;
---
(1,0.1)|blue|hidden|label:`\overrightarrow{v}`
(3,0.1)|green|hidden|label:`\overrightarrow{u}`
([0,2],[0,0])|blue
([0,4],[0,0])|green

[Graph of a triangle area] Area av den liksidiga triageln\frac12\det(A)\frac12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} Areabyte:

• Kordinater: $$I\times\begin{bmatrix} \zeta_1\\zeta_2\\zeta_3 \end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix} \alpha_1\\alpha_2\\alpha_3 \end{bmatrix}$$
• Area: Om vi hade en area av X a.e. innan basbyte, då har vi \det{A}\times{X} a.e. efter basbyte.
• Volym: x v.e. före basbyte \Rightarrow \det(A)\times{X} a.e. efter basbyte. OBS:
• Area av triangle =\frac12 area av parallellogram
• Volum av tetraheder =\frac13 volum av parallellepiod
• 4-d volum av 4-d tetrahden =\frac1{24} 4-d volum av 4-d parallelopipod

SATS: Låt A vara en m\times{n} ortogonal matris. Då är \operatorname{def}(A) antigen +1 eller -1. BEVIS:

• För ortogonala matriser är $A^{-1}=A^T$
• $\det(A)=\det(A^T)$
• $\operatorname{def}(AB)=\operatorname{def}(A)\times\operatorname{def}(B)$ \Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\times\det{A^T}=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)^2=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)\text{är }+1\text{ eller }-1 OBS: Om vi har en m\times{n} matris A, då är \det(A) lika med den $m-$dimensonella volymen av figuren som spenns up av matrises kolumner EX: $$\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 1&\frac12\ 0&\frac{\sqrt{3}}2 \end{bmatrix}\Rightarrow\text{svårt att beskriva}$$ [ ]

FAKTA: Om A är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen

Diagonalisering

\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}

Heltalspotenser Hur skulle vi kunna räkna ut A^{2026}?

(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})

OBS: \begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned} EX: \begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix} EX: *Beräkna A^{2026} för $A=\begin{bmatrix}2&-1\3&-2\end{bmatrix}*\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$