Analys-och-Linj-r-algibra/Funktioner Forts.md

• Begränsade funktioner
  • Uppåt begränsad: f(x)\leq{M}, \forall{x}\in{D_r}
    • Ex: f(x)=-x^2-2x
  • Nedåt begränsad: f(x)\geq{M}, \forall{x}\in{D_f}
    • Ex: f(x)=x^2+2x+2
• Monoton funktion
  • Växande: x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\leq{f(x_2)}
  • Strängt växande: x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)
  • Avtagande: x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}
  • Avtagande: x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)
  • (Strängt) Monoton funktion är (Strängt) växande eller (Strängt) avtagande
• Jämna, Udda funktioner
  • Jämna: f(-x)=f(x)
    • Ex: |x|,\;x^2,\;\cos{x}
    • \begin{align*}f\text{ är udda }, O\in{D_f}\\f(-x)=-f(x)\forall{x}\in{D_f}\\f(-o)=-f(o)\\\Leftrightarrow{f(o)=-f(o)}\Leftrightarrow{2f(o)=0}\\\Leftrightarrow f(o)=\frac{o}{2}=O\end{align*}
  • Udda: f(-x)=-f(x)
    • Ex: x,\;x^3,\;\sin{x}
• Sammansatta funktion
  • g\circ{f(x)}=g(f(x))
  • Egenskaper:
    • V_{g\circ{f}}\subseteq{V_g}
    • V_{f}\subseteq{D_g}
  • Ex: \begin{align*}f(x)=\sqrt{x}\text{ and }g(x)=(x+5)^2\\f\circ{g}(x)=f(g(x))=f((x+5)^2)=\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\g\circ{f}(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2\\\text{I allmänhet }f\circ{g(x)}\neq{g\circ{f(x)}}\end{align*}
• Inverse
  • Def: En funktion g är inverse till funktionen f om g\circ{f(x)}=x och f\circ{g(x)}=x för varje $x\in{D_f}$
  • !
  • OPS: f^{-1}(x)\neq{(f(x))^{-1}}
  • Betekning: f^{-1} är inverse till f
  • Graf till inversen f^{-1} är spegling av grafen till f i linjen y=x
  • Injektiv funktion: \forall{x_1,x_2}\in{D_f},\;x_1\neq{f(x_2}\rightarrow{x_1}\neq{f(x_2)}=\frac{1}{f(x)}\begin{align}f\\x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}\end{align}
  • f är stängt monoton \Rightarrow\;x är injektiv (inverterbar) på D_f
  • f är inverterbar \Rightarrow\;D_{f-1}=V_f och V_{f-1}=D_f
  • Ex:
    • f(x)\left\{\begin{align}-x+5,\;0\leq{x}\leq2\\x-4,\;2\leq{x}<4\end{align}\right.
    • !
    • f(x)=x^2,\;x\in[0,1] D_f=[0,1]
    • !
    • \begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}
• Exponential och logarithm
  • Exponential: f(x)=a^x för något a>0.
  • Logaritm: g(x)=\log_a(x) för något a>0
    • f och g inverse till varandra: y=a^x\Leftrightarrow\log_a(y)=x.
    • D_f=\mathbb{R}=V_g,\;\;V_f=(0,\infty)=D_g.
    • Om a>1,\;f,\;g är strängt växande.
    • \log_a{(xy)}=\log_a(x)+\log_a(y),\;\log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)
    • \log_a(x^b)=b\log_a(x)
    • Basbyte: \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\Leftrightarrow\log_b(x)=\log_b(a)\log_a(x). a^x=b^{x\log_b(a)}
    • Ex: \begin{align}\text{Räkna }D_f\text{ för }f(x)=\log_{10}(x^2+2x-3)\\f\text{ är definierad för }x^2+2x-3>0\\\Leftrightarrow(x+3)(x-1)>0\\\Leftrightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\D_f=(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\\\2^{x+3}>4\\\Leftrightarrow\log_2(2^{x+3})>\log_24\\\Leftrightarrow x+3>2\\\Leftrightarrow x>-1\\\\\log_{10}36\\=\log_{10}(2^2\times3^2)\\=\log_{10}(2^2)+\log_{10}(3^2)\\=2\log_{10}2+2\log_{10}3\\\\2^x=e^{x\log_e2}=e^{x\ln2}\\\log_2x=(\log_2e)\ln{x}\\=\frac{\ln x}{\ln 2}\end{align}
    • Def: \log{x}=\log_{10}x
    • Def: \ln{x}=\log_ex
    • Def: a^x=e^{x\log_ea}=e^{x\ln a},\;a\in(0,\infty)
    • Def: \log_a1=0
    • Def: \log_aa=1
    • Def: \log_ab=\frac{1}{\log_ba}