Analys-och-Linj-r-algibra/Grudlägande Matriser.md

I. Enhetsmatrisen $$A=\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,;u_2))=(u_1,;u_2)$$

• $\det(A)=1,;A^{-1}=A$
• Egenvärdena är $+1,;+1$
• Två linjärt oberoende egenvektorer för egenvärdet +1, mämligen $(1,0),;(0,1)$ II. Likformig skalning $$a=\begin{bmatrix} k&0\0&k \end{bmatrix},;k>0\Rightarrow F_A((u_1,;u_2))=(ku_1,;ku_2)$$
• \det(A)=k^2>0 (area förändras, orienteringen blir samma)
• Egenvärdena: $+k,;+k$
• Två linjärt oberoende egencektorer: $(1,0),;(0,1)$ III. Pressning $$A=\begin{bmatrix} k&0\0&\frac1k \end{bmatrix},;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,;u_2))=(ku_1,;\frac1k)$$
• \det(A)=+1$ (Både area och orientering förblir det samma)
• Egenvärde är k och $\frac1k$
• Motsvarande egenvektor: $\begin{aligned}k\rightsquigarrow(1,0)\\frac1k\rightsquigarrow(0,1)\end{aligned}$ IV. Skjuvning $$a=\begin{bmatrix} 1&k\0&1 \end{bmatrix},;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,;u_2))=(u_1+ku_2,u_2)$$
• \det(A)=+1: (Både area och orintering förblir det samma)
• Egenvärdena: $+1,;+1$
• Endast en linjärt oberoende egenvektor: $(1,;0)$ V. Framförskjutning $$\begin{bmatrix} 0&0\1&0 \end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,u_2))=(0,u_1)$$
• \det(A)=0: (Arean förstörs)
• Egenvärdena: $0,;0$
• Egenvektorerna: $(0,;1)$ VI. Bakförsjutning $$A=\begin{bmatrix} 0&1\0&0 \end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,;u_2))=(u_2,0)$$ VII. Rotation för \frac\pi2 moturs $$A=\begin{bmatrix} 0&-1\1&0 \end{bmatrix}=F_A((u_1,;u_2))=(-u_1,u_2)$$
• $\det(A)=+1$
• Egenvärden: $+i,-i$