45 lines
1.5 KiB
Markdown
45 lines
1.5 KiB
Markdown
**I. Enhetsmatrisen**
|
|
$$A=\begin{bmatrix}
|
|
1&0\\0&1
|
|
\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_1,\;u_2)$$
|
|
- *$\det(A)=1,\;A^{-1}=A$*
|
|
- *Egenvärdena är $+1,\;+1$*
|
|
- *Två linjärt oberoende egenvektorer för egenvärdet $+1$, mämligen $(1,0),\;(0,1)$*
|
|
**II. Likformig skalning**
|
|
$$a=\begin{bmatrix}
|
|
k&0\\0&k
|
|
\end{bmatrix},\;k>0\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;ku_2)$$
|
|
- *$\det(A)=k^2>0$ (area förändras, orienteringen blir samma)*
|
|
- *Egenvärdena: $+k,\;+k$*
|
|
- *Två linjärt oberoende egencektorer: $(1,0),\;(0,1)$*
|
|
**III. Pressning**
|
|
$$A=\begin{bmatrix}
|
|
k&0\\0&\frac1k
|
|
\end{bmatrix},\;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;\frac1k)$$
|
|
- *\det(A)=+1$ (Både area och orientering förblir det samma)*
|
|
- *Egenvärde är $k$ och $\frac1k$*
|
|
- *Motsvarande egenvektor: $\begin{aligned}k\rightsquigarrow(1,0)\\\frac1k\rightsquigarrow(0,1)\end{aligned}$*
|
|
**IV. Skjuvning**
|
|
$$a=\begin{bmatrix}
|
|
1&k\\0&1
|
|
\end{bmatrix},\;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_1+ku_2,u_2)$$
|
|
- *$\det(A)=+1$: (Både area och orintering förblir det samma)*
|
|
- *Egenvärdena: $+1,\;+1$*
|
|
- *Endast en linjärt oberoende egenvektor: $(1,\;0)$*
|
|
**V. Framförskjutning**
|
|
$$\begin{bmatrix}
|
|
0&0\\1&0
|
|
\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,u_2))=(0,u_1)$$
|
|
- *$\det(A)=0$: (Arean förstörs)*
|
|
- *Egenvärdena: $0,\;0$*
|
|
- *Egenvektorerna: $(0,\;1)$*
|
|
**VI. Bakförsjutning**
|
|
$$A=\begin{bmatrix}
|
|
0&1\\0&0
|
|
\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_2,0)$$
|
|
**VII. Rotation för $\frac\pi2$ moturs**
|
|
$$A=\begin{bmatrix}
|
|
0&-1\\1&0
|
|
\end{bmatrix}=F_A((u_1,\;u_2))=(-u_1,u_2)$$
|
|
- *$\det(A)=+1$*
|
|
- *Egenvärden: $+i,-i$* |