Analys-och-Linj-r-algibra/Linjer.md

TODO: Fyll i info från bilder

• I rummer R^2 kan en linje l anges på flera sätt
  • y=kx+m: Funkar inte för vertikala linjer
  • ax=ky+c=0,\text{ där minst en av }a,k\text{ mellanskild kallas för nirmalform av en linje}
  • Paramaterformen som ges av en punkt P och en vektor $\overrightarrow{v}$
• DEF: Låt l vara en linje i \mathbb{R}^2 som ges av P och \overrightarrow{v}. Denna linjens normalvektor \overrightarrow{m} definieras som \overrightarrow{m}=\left(-v_2,-v_1\right) där $\overrightarrow{v}=\left(v_1,v_2\right)$
  • OBS: Det gäller att $<\overrightarrow{m},\overrightarrow{v}>=-v_2\times v_1+v_1\times v_2=0$
  • OBS: Hur kan man beskriva tangentelinjen till grafen av fuktionen f med hjälp av parameterformen
    • För att beskriva en linje behöver vi P och \overrightarrow{v}. Vad kam vi välja som P och \overrightarrow{v} i ett sådant fall fall \begin{align}P=\left(a,f\left(a\right)\right)\\\overrightarrow{v}=\left(1,f'\left(a\right)\right)\end{align}
• Area
  • Sats: Den sigmerade volum (dvs. volum med tetraheden +/-) av tetrahdeden som spänns upp av tre linjärt vektorere \overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{w} är lika med: $\frac16<\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{w}>=\frac16\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid\mid\mid\overrightarrow{w}\mid\mid\cos(\alpha)$
  • Proff: Volymen av en tetrahden som en geometriska figur ges av en formel: $\frac13\times\text{Area av bas ytan}\times\text{Höjden}\Rightarrow\frac13\times\frac12\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{w}\mid\mid\times\cos(\alpha)\Rightarrow\text{Klar!}$