Analys-och-Linj-r-algibra/Matriser.md

DEF: En matris med reella koefficienter är en samling av m\times{n} reella tal, uppdelade i m rader och n kolumner$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\end{aligned}$Antalet rader och kolumner utgör matrisens dimension: $m\times{n}=$"m gånger $n$"

Räknavis

• DEF: För två (eller flera) matriser vara samma dimension defimiras addition och skalär multiplikation positionsvis
• EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}-3&-3&2\\1&0&1\end{bmatrix},\lambda=3\\Rightarrow{}A+B=\begin{bmatrix}-2&-6&8\\1&3&6\end{bmatrix},3\times{A}=\begin{bmatrix}3&-9&12\\0&9&15\end{bmatrix}\end{aligned}
• \begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\text{Går ej att addera matriser i olika dimensioner}

Vanliga räkne regler gäller

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• \lambda\times(\mu{A)}=(\mu\lambda)*A
• \lambda(A+B)=\lambda{A}+\lambda{B}
• (\lambda+\mu)=\lambda{A}+\mu{A}

DEF: *Låt A vara en m\times{n} matris och B vara en n\times{p} matris. I så fall definieras matrisprodukten AB som *$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$Resultatet AB är en $m\times{p} matris$

EX: $\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$Transponering:

• DEF: Låt A vara en m\times{n} matris. Denna matrisen transponat A^T är den m\times{n} matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen A till kolumner.
• EX: om \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}
• Vilka räkneregler gäller?\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}
• DEF: En kvadratisk matris A kallas för symmetrisk om $A^T=A$
  • EX: \left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}
  • DEF: I en kvadratisk matris A kallas:
    • Element a_{ij} med i=j\Leftrightarrow diagonala element
    • Element a_{ij} med i<j\Leftrightarrow över-diagonala element
    • Element a_{ij} med i>j\Leftrightarrow under-diagonala element
    • EX: A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}
  • DEF: En kvadratisk matris A kallas för
    • Diagonal matris \Leftrightarrow alla över- och under-diagonala element är $0$
    • Över-triangulär matris \Leftrightarrow alla under-diagonala element är $0$
    • Under-triangulär matris \Leftrightarrow alla över-diagonala element är $0$
    • EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}
    • OBS:
      • Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska
      • Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris
      • Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris
      • EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}
  • DEF: Den diagonala matrisen vars alla diagonala element är 1 kallas för identitetsmatrisen och betänkas I.
    • EX: $$ \begin{aligned} I=\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}\ \shortparallel;;;;;\ I_2;;;: \end{aligned},;; \begin{aligned} I=\begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}\ \shortparallel;;;;;;;;\ I_2;;;;;;: \end{aligned}$$
    • OBS: Om X är en m\times{n} matris och I identitersmatrisen av samma dimension, då gäller: \begin{aligned}IX=XI=X&&\left(\underbracket{1}\times{x}=x\times\underbracket{1}=x\right)\end{aligned}
    • DEF: låt A vara en m\times{n} matris. Denna matrisen invers matris A^{-1} är den matrisen som uppfyller AA^{-1}=A^{-1}A=I (om en sådan matris A^{-1} fins)
      • EX: \begin{aligned}\text{Har matrisen }A=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\text{ en invers?}\\\text{Om den har en invers }A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix},\text{ då ska }\\AA^{-1}=A^{-1}A=I\\\text{Vad är }AA^{-1}\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2z&2w\\0&0\end{bmatrix}\overset{?}{\text{=}}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\Rightarrow0=1\\\text{Detta går inte eftersom $0\neq1$}\\A\text{ har ingen invers}\end{aligned}
    • Räkneregler: (låt A,B vara m\times{x} matriser som har inverser
      • \left(A^{-1}\right)^{-1}=A
      • \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^T\right)^{-1}
      • \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}!!
• EX: Hur löser vi ekvationen AX=B, där A,B kända m\times{n} matriser, X är okänd m\times{n} matris? $$ \begin{aligned}\begin{aligned} AX=B\Leftrightarrow\left(\begin{aligned} X=BA^{-1}?\ X=A^{-1}B? \end{aligned}\right)\end{aligned}\\begin{aligned} AX=B&\Rightarrow\underbracket{A^{-1}}AX=A^{-1}B\Rightarrow{IX=A^{-1}B}\Rightarrow{X=A^{-1}B}\ &\Rightarrow{AX\underbracket{A^{-1}}}=B\underbracket{A^{-1}}\Rightarrow??? \end{aligned}\end{aligned}$$
• FAKTA: *Om A är em m\times{n} matris och anta att A har en invers. Då beräknas A^{-1} genom: *$\left(A\mid{I}\right)\longrightarrow\left(I\mid{A}\right),$dvs. Vi skriver A som VL och I som HL i ett gauss-chema, och sen genom radoperationer säkerställer att I find på VL till slut, och då är A^{-1} kvar i HL.
  • EX: \begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}\text{. beräkna }A^{-1}\\\left(A\mid{I}\right)=\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&7&|&0&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\end{aligned} $$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} 1&2\ 3&4 \end{bmatrix}\Rightarrow?\ A^{-1}=\begin{bmatrix} 4&-2\ -3&1 \end{bmatrix}? \end{aligned}$$