30 lines
1.5 KiB
Markdown
30 lines
1.5 KiB
Markdown
**DEF**: *Funktionen $F$ kallas för en avbildning om $F:V_1\rightarrow{V_2}$ där $V_1,\;V_2$ är två vektorer. Vidare kallas en avbilding för linjär om:*
|
|
- *$F(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u})=F(\overrightarrow{u})+F(\overrightarrow{u})$*
|
|
- *$F(\alpha\overrightarrow{u})=\alpha\times{F}(\overrightarrow{u})$*
|
|
**EX**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då definierar $A$ en linjär avbilding från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$ genom följande: *$$\begin{aligned}
|
|
F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\text{ (dvs. med hjälp av matrismultiplikation)}\\
|
|
\left(\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4)=\begin{bmatrix}
|
|
u_1\\u_2\\u_3\\u_4
|
|
\end{bmatrix}\right)
|
|
\end{aligned}$$
|
|
**EX**: *Vilken avbildning definieras av matrisen* $$\begin{aligned}
|
|
A=\begin{bmatrix}
|
|
1&2\\3&4
|
|
\end{bmatrix}\\
|
|
\text{Räkna ut: }A\overrightarrow{u}=\begin{bmatrix}
|
|
1&2\\3&4
|
|
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
|
|
u_1\\u_2
|
|
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
|
|
u_1+2u_2\\
|
|
3u_1+4u_2
|
|
\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
|
|
F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\\
|
|
F_A\left(\left(u_1,\;u_2\right)\right)=\\(u_1+2u_2,\;3u_1+4u_2)
|
|
\end{aligned}
|
|
\end{aligned}$$
|
|
**OBS**: *Följade bekanta begrepp är egenkligen linjära avbildningar*
|
|
- *Derivatan: $\begin{aligned}\left(x^2+\sin(x)\right)'=\left(x^2\right)'+\left(\sin(x)\right)'=2x+\cos(x)\\\left(10x^2\right)'=10\times\left(x^2\right)'=10\times2x=20x\end{aligned}$*
|
|
- *Den bestämnda integralen: $\begin{aligned}\int^1_0\left(x+x^2\right)dx=\int^1_0xdx+\int^1_0x^2dx=\dots\\\int^1_0(10\times{x})dx=10\times\int^1_ 0xdx=\dots\end{aligned}$*
|
|
|