Analys-och-Linj-r-algibra/Funktioner.md

• Talmängder:
  • De natuliga talen: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}
  • De hela talen: \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}
  • De rationella talen: \mathbb{Q} = \{\frac{p}{q}: p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0\}
  • De reela talen: \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{de irratinela talen}\}. Ex: irratinella tal \pi, \mathrm{e}, \sqrt{2}
  • De complexa talen: \mathbb{C}=\{x+\mathrm{i}y:x,y\in\mathbb{R}, \mathrm{i}^2 = -1\}
  • Där \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}
  • \cup - \text{union/XOR}, \cap - \text{och}, \subset - \text{delmängd till}, \in - \text{tillhör}
• Intervall
  • DEF: Alla tal mellan två uppgivna tal
  • Sluten intervall: [a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq{x}\leq{b}\}
  • Öppet intervall:
    • (a,b)=]a,b[=\{x+\in\mathbb{R}:a<x<b\}
    • (-\infty,b)=]-\infty,b[=\{x\in\mathbb{R}:x<b\}
    • (a,-\infty)=]a,-\infty[=\{x\in\mathbb{R}:a<x\}
    • (-\infty,\infty)=]-\infty,\infty[=\mathbb{R}
  • Halvöppet intervall:
    • (a,b]=]a,b]=\{x+\in\mathbb{R}:a<x\leq{b}\}
    • [a,b)=[a,b[=\{x+\in\mathbb{R}:a\leq{x}<b\}
    • (-\infty,b]=]a,\infty]=\{x\in\mathbb{R}:x\leq{b}\}
    • [a,\infty)=[a,\infty[=\{x\in\mathbb{R}:a\leq{x}\}
• Funktioner/Definitionsmängd
  • Notation: f: M \longrightarrow N, x \longmapsto f(x)
  • Def: En funktion f från en mängd M till en annan mängd N är en regel som tilldelar ett objekt i N på ett entydigt sätt till varje objekt (så många som det går) i M.
  • Def: Definitionsmängden till är en delmängd av M där är definierad. Betecknas D_f.
  • Def: Värdemängden till f är en mängd av alla element i N som bildas av f. Betecknas V_f.
  • Ex: \begin{align*}f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},n\mapsto{n^2}\\f(1)=1,f(2)=4,\dots\dots\end{align*}
  • Ex: \begin{align*}f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Q},n\longmapsto\frac{n}{n^2-4}\\f\text{ är inte definierad på }\{-2,2\}\\\text{sum }D_f=\mathbb{Z}\text{\\}\{-2,2\}\end{align*}
  • Ex: \begin{align*}g(y)=\sqrt{y-3}\text{ Bestäm }D_g\\\text{Svar}: [3,\infty)\end{align*}
• Värdemängd
  • f:M\longrightarrow{N}
  • Def: Mängd av alla element i N som bildas av f. Beteknas $V_f$
  • Ex: \begin{align*}f(n)=n^2,\;n\in\mathbb{N}\text{. Bestäm }V_f\\V_f=\{0,4,9,16,25,\dots\}\\=\{m\in\mathbb{N}:m=n^2,n\in\mathbb{N}\}\\\\16^2=256\Leftrightarrow{}f(16)=256\Rightarrow{}256\in{V_f}\end{align*}