Analys-och-Linj-r-algibra/Gräsvärde (1).md

• Gränsvärden
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar \delta>0 så att $\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gransvärde till f(x) då x får mot a. Betekning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow{a}, eller $\lim_{x\to{a}} f(x)=L$
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar M>0 så att$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gränsvärde till $f(x) då x går mot oändlighit. Beteckning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow\infty, eller $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$
• Remarks
  • Om det inte fins sådant L värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten a,
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}
  • Punkten a behöver inte vara i D_f.
  • Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.
  • Långsiktig beteende hos funktioner: $\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$
  • Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.
  • Om a int är "problempunkt" stoppar vi in x=a i $f(x)$
  • Def: "Problempunkt" t.ex \lim_{x\to 0}\frac1x går inte att direkt lösa på grund av division med $0$
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to5}f(x)=\lim_{x\to5}\frac1x=\frac15\\\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac1x=0\\\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac1x\text{ Existerar inte}\end{align}
• One sided limits
  • !
  • Ex: \begin{align}sgm(x)=\left\{\begin{aligned}1,\;x>0\\0,\;x=0\\-1,\;x<0\end{aligned}\right.\\D_{sgm}=\mathbb{R}\\\lim_{x\to0}sgm(x)\text{ Existerar inte}\\\lim_{x\to0^+}sgm(x)=\lim_{x\to0^+}1=1\\\lim_{x\to0^-}sgm(x)=\lim_{x\to0^-}(-1)=-1\end{align}
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to a}f(x)\text{ existerar om}\\\lim_{x\to a+}f(x)\&\lim_{x\to a-}f(x)\\\text{ Existerarf och }\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)\\\\f(x)=\sqrt{x}, D_f=\left[0,\infty\right)\\\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\sqrt{x}=0\\\\f(x)=\left\{\begin{aligned}x+1,\;x>0\\0,\;x=0\\2x+1,\ x<0\end{aligned}\right.\\D_f=\mathbb{R}\\\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x+1\\=0+1=1\\\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}2x+1\\=2\times0+1=0\\\lim_{x\to0}f(x)=1\end{align}
• Problem fall
  • \left[\frac00\right] form: Ex: \lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x
  • \left[\frac\infty\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}
  • \left[0\times\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid
  • \left[0^0\right] form: Ex: \lim_{x\to0+}x^x
  • \left[\infty^0\right] form Ex: \lim_{x\to\infty}x^{1/x}
  • \left[1^\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}
  • \left[\infty-\infty\right] form: \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)
    • Ex: \begin{align}\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)\\=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\\=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\cancel{x^2}+5x+1\right)-\left(\cancel{x^2}+3x-5\right)}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\\=\lim_{x\to\infty}\frac{2x+6}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\\=\lim_{x\to\infty}\frac{x(2+\frac6x)}{\sqrt{x^2}\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\\=\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x}(2+\frac6x)}{\cancel{x}\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\\=\lim_{x\to\infty}\frac{(2+\frac6x)}{\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\\=\frac{2+0}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0-0}}=1\end{align}
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{0^2-3\times0+2}{0^2-1}=\frac{1+2}{1-1}=\frac{3}{0}\text{ Fins inget gränsvärde}\\\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\Longleftrightarrow\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac12\end{align}
  • Ex: \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{1-\frac1{x^2}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1
  • Ex:
• Räkneregler
  • Låt f och g vara funktioner så att $\lim_{x\to a}f(x)=A,\;\lim_{x\to a}=B,\;\mid{A}\mid<\infty,\;\mid{B}\mid<\infty$
  • \lim_{x\to a}\alpha(f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B
  • \lim_{x\to a}f(x)\times g(x)=A\times B
  • \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\text{ om }B\neq0
  • Theorem: Instängningsregel $\left.\begin{aligned}f(x)\leq g(x)\leq h(x),\;\forall x\\\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x)\end{aligned}\right\}\Rightarrow\lim_{x\to a}g(x)=L$
  • Theorem: f(X)\leq g(x),\;\forall x\Rightarrow\;\lim_{x\to a}f(x)\leq\lim_{x\to a}g(x)
  • Theorem: Sammansättningsregel $\left.\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=b\\\lim_{x\to b}g(x)=L\end{aligned}\right\}\Rightarrow\lim_{x\to a}g\circ f(x)=L$
  • Variabelbyte: \lim_{x\to a}g\circ f(x)=\lim_{t\to b}g(x)\text{ där }t=f(x)\longrightarrow b\text{ då }x\longrightarrow a
  • Ex: $$ \begin{align}\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x\-1\leq\sin\frac1x\leq1,; x\neq0\\Rightarrow-x^2\leq x^2\sin\frac1x\leq x^2\\lim_{x\to0}-x^2=0=\lim_{x\to0}x^2\\text{Enlight instängningsregel, }\\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0\\end{align}

	- **Ex**: $$\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x\\\text{Låt }\arcsin x=y,x\in\left[-1,1\right]\\\Rightarrow x=\sin y,y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\\t\to0\text{ då }x\to0\\\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x=\lim_{y\to0}=\frac{y}{\sin y}\\=\lim_{y\to0}\frac1{\frac{\sin y}y}=\frac11=1\end{align}$$
- Standerd gränsvärde
	1. $\frac{x^\alpha}{a^x}\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow\infty$ där $a>1$.
	2. $\frac{\ln x}{x^\alpha}\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow\infty$ där $\alpha>0$.
	3. $x^\alpha\ln x\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow0+$ där $\alpha>0$.
	4. $\frac{\sin x}x\longrightarrow1$ då $x\longrightarrow0$
	5. $\left(1+x\right)^{1/x}\longrightarrow e$ då $x\longrightarrow0$
	6. $\frac{\ln\left(1+x\right)}x\longrightarrow1$ då $x\longrightarrow0$
	7. $\frac{e^x-1}x\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow0$
	8. $\left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow e$ då $n\longrightarrow\infty$
	9. $\frac{a^n}{n!}\longrightarrow0$ då $n\longrightarrow\infty$
	10. $\sqrt[n]{n!}\longrightarrow\infty$ då $n\longrightarrow\infty$
	- **Ex**: $$$$
- Definitions
	- **Def**: *Funktionen $f$ är kontinuerling i punkten $a$ om*
		1. $a\in D_f$ *och*
		2. $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$
	- *På samma sätt, kontinuitet från höger och vänster med en-sidig gränsvärde.*
	- **Def**: *Funktion $f$ är en kontinuerlig funktion på intervallet $I$ om $f$ är kontinuerlig i varje punkten $a\in I$*
- Remarks
	- Eöementära funktioner är kontinuerliga på sina definitionsmöngder.
	- **Ex**: $x^n;\;\;x^\alpha,\;x>0;\;\;a^x,\;a>0;\;\;\log_ax,\;a>0;\;\;\sin x;\;\;\arcsin x,\;x\in\left[-1,1\right]\;\;\text{etc.}$
	- $f,\;g$ kontinuerlig då är följande kontinuerlig: $f+g,f\times g,\text{ och }f\circ g$
	- $\frac{f}g$ kontinuerlig på definitionsmängden av $\frac{f}g$
	- $f$ är strängt monoton kontinuerlig funktion $\Longrightarrow f^{-1}$ är kontinuerlig.
	- **Ex**: 
		1. **Språng**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}x+2,\;x\geq1\\x+1,\;x<1\end{aligned}\right.$
			- <graf 1>
		2. **Hävbar**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}x^2+1,\; x\neq0\\-1,\;x=0\end{aligned}\right.$
			- <graf 1>
		3. **Lodrät asymptot**: $f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac1{x+1},\;x\neq1\\0,\;x=1\end{aligned}\right.$
			- <graf 1>
			- <graf 2>
			- <graf 3>
		- $f(x)=\frac1x, x\in\left(0,\infty\right)$ $f$ är kontinuerlig på $\left(0,\infty\right)$. $f$ saknar *störta*/*minsta* värde
	- Egenskaper:
		- Satsen om mellanliggandevärden:
		- **Theorem**: *Funktionen $f$ kontinuerlig i $\left[a,b\right]\Rightarrow f$ tar alla värde mellan $f(x)$ och $f(b)$ minst en gång*
		- **Ex**: $f$ kontinuerlig funktion så att $f(-5)=3$ och $f(x)=-2$. Enlight satsen har $f$ minst ett nollställe.
		- Extreamvärde:
		- **Theorem**: *Funktionen $f$ är kontinuerlig på $\left[a,b\right]\Rightarrow f$ har ett största och ett minsta värde på $\left[a,b\right]$*
	- Asymptoter
		- Sned asymptot:
		- **Def**: *En rät linje $y=kx+m$ är en (**sned**) asymptot till kurvan $y=f(x)$ då $x\longrightarrow\infty$ om $$\lim_{x\to\infty}(f(x)-(ax+b))=0$$. Formel: $$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$$ och $$b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax$$*
		- På samma sätt för $x\longrightarrow-\infty$.
		- Lodrät asymptot:
		- **Def**: *En rät linje $x=a$ är en lodrät asymptot till kurvan $y=f(x)$ om $$\lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty$$ eller $$\lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty$$*
- Vanliga tenta frågor
	- $$\begin{align}f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{\sin\alpha x}{x^3},\;x>0\\\beta,\;x=0\\\frac{\sqrt{1+2x^2}-1}{x^2},\;x<0\end{aligned}\right.\\\text{Bestäm }\alpha,\;\beta\text{ så att }f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}\\\text{Lös: }f(x)\text{ är kontinuerlig på }\left(0,\infty\right)\text{ eftersom }\sin\alpha x,x^3+x\\\text{är kontinuerlig \& däsmed }\frac{\sin\alpha x}{x^3}\text{ är kontinuerlig på }\left(0,\infty\right)\\f(x)\text{ ---||--- }\left(-\infty,0\right)\\\text{---}\sqrt{1+2x^2}-1,x^2\text{---}\\\text{---}\frac{\sqrt{1+2x^2}-1}{x^2}\text{---}\left/-\infty,0\right).\\f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}\text{ om det är kontinuerlig i x=0}\end{align}$$
	-