42 lines
4.0 KiB
Markdown
42 lines
4.0 KiB
Markdown
- Graf
|
|
- Graf till funtion $f:\{(x,f(x)):x\in{D_f}$
|
|
- *Graf till $f$ med $y=V_f$ och $x=D_f$*
|
|
- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\left\{\begin{aligned}&2,\;0\leq{x}\leq{1}\\&x+3,\;1<x<2\\&-1,\;2\leq{x}<3\end{aligned}\right.\\D_f=[0,3)\\V_f=(-3,-2]\cup\{2\}\cup(4,5)\end{align*}$$
|
|
- Variablebyte
|
|
- *Låt $f$ vara en funtion med $D_f=(x_1,x_2),\;V_f=(y_1,y_2)$*
|
|
- $g(x)=f(x-a)$, grafen flyttar $a$ enheter längst x-axeln. $$D_g=(x_1+a,x_2+a),\;V_g=(y_1,y_2)$$
|
|
- $g(x)=f(x)+b$, grafen flyttar $b$ enheter längt y-axeln $$D_g=(x_1,x_2),\;V_g=(y_1+b,y_2+b)$$
|
|
- $g(x)=f(cx),c\neq0$, "Scaling" längst x-axeln
|
|
- $g(x)=d\times{f(x)}$, "Scaling" längst y-axeln
|
|
- Absolutbelopp
|
|
- **Def**: *Absolutbelopp funktion $|\dot{}|:\mathbb{R}\mapsto[0,\infty)$ definieras av $$|x|=\left\{\begin{aligned}x,\;\text{då }x\geq0,\\-x,\;\text{då }x<0.\end{aligned}\right.$$*
|
|
- Egenskapaer
|
|
- $|x|=\sqrt{x^2}\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Alternativ definition av absolutbelopp)
|
|
- $|-x|=|x|\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Jämn funktion)
|
|
- Multiplikation regle: $|x\times{y}|=|x|\times{|y|}\;\;\forall{x,y}\in\mathbb{R}$
|
|
- Triangel olikhet: $|x+y|\leq|x|+|y|$
|
|
- $|x-y|$ är avstånd mellan $x$ och $y$ på reell-linje. I synnerhet är $|x|$ avståndet mellan $x$ och $0$.
|
|
- Ex: Lös ekvationen $|x-3|=2$$$\begin{align*}|x-3|\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=2\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2=2^2\text{(kvadrering)}\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2-2^2=0\Leftrightarrow(x-3+2)(x-3-2)=0\\\Leftrightarrow{}x_1=1,\;x_2=5\end{align*}$$
|
|
- Ex: Lös olikheten $|x-3|<2$$$\begin{align*}|x-3|=\left\{\begin{aligned}x-3,\;x-3\geq0\\3-x,\;x-3<0\end{aligned}\right.\\\text{Fall 1: }x-3\geq0\Leftrightarrow{x}\geq3\\|x-3|<2\Leftrightarrow{x}-3<2\\\Leftrightarrow{x}<2+4=5\\3\leq{x}<5\\\text{Fall 2: }x-3<0\Leftrightarrow{x}<3\\|x-3|<2\Leftrightarrow3-x<2\\\Leftrightarrow{x}>3-2=1\\1<x<3\\\\\text{Lösningmängd till }|x-3|<2\\(1,3)\cup{[3,5)}=(1,5)\end{align*}$$
|
|
- Polynom
|
|
- **Def**: *En funtion i formen $$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$$är ett polynom. $a_k$ för $k=0,1,\dots,n$ är koefficienter. Om $a_n$ har polynomet grad $n$. Skrivs $grad(p)=n$*
|
|
- Nollställe/Rötter: Lösningar till $p(x)=0$
|
|
- Polynom av grad 0: $p(x)=c$, konstant function. Graf är parallel till x-axel.
|
|
- Polynom av grad 1 $p(x)=ax+b$, linjär function. Graf är en icke vertikal linje.
|
|
- Andragradspolynom
|
|
- $p(x)=ax^2+bx+c,\;a\neq0$
|
|
- Faktorisering med kvadratkomplettering: $$\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}\times\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$$Discriminant: $D=b²-4ac$
|
|
- Lösningar: $p(x)=ax^2+bx+c=0$ med $a\neq0$ har:
|
|
- Inga reella lösnngar om $D<0$. (Komplexa lösningar)
|
|
- En lösning (doubleroot) om $D=0$: $$x=-\frac{b}{2a}$$
|
|
- Två olika lösningar om $D>0$: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
|
|
- Remark: Om $grad(p)=n,p(x)=0$ har max $n$ olika lösningar
|
|
- Ex Lös $x^2+2x-1=0$ $$\begin{align*}p(x)=x^2+2x-1=0\\=\end{align*}$$
|
|
- Ex: $$\begin{align*}p(x)=2x²+4x+4\\D=4^2-4\times2\times4<0\\p(x)=2x^2+4x+4\\=2(x^2+2x+2)\\=2(x^2+2x+1-1+2)\\=2\left((x+1)^2+1\right)\end{align*}$$
|
|
- Ex: $$\begin{align}p(x)=2x^2+2x+18\\D=12^2-4\times2\times18=0\\\text{en dubbel rot}\\p(x)=2x^2+12x+18\\=2(x^2+6x+18)\\=2(x+3)^2\end{align}$$
|
|
- Dubleroot vissar att det är två gånger samma factor i factorisering
|
|
- Polynomdivision
|
|
- Rationell funktion: $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där $p(x)$, $q(x)$ är polynom.
|
|
- **Def**: *$p(x)$ och $q(x)$ är polynom $\Rightarrow$ det fins polynom $k(x)$ (kvot) och $r(x)$ (rest) så att $$\begin{align}p(x)=q(x)k(x)+r(x)\\\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}\end{align}$$, och $grad(r)<grad(q)$ om $grad(q)>0$*
|
|
- Remark: Om $r(x)=0$ för varje $x$ (nollpolynomet), divisionen får jämt ut. Vi har faktorisering $p(x)=q(x)k(x)$
|
|
- |