Analys-och-Linj-r-algibra/Derivata.md

• Derivata
  • Def: f är deriverbar i punkten a om $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}existerar.f'(x)=\frac{df}{dx}(a)=Df(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$är derivatan av f i punkten x=a. Funktionen f' är derivatan av f och deinieras som x\longmapsto f'(x) där det är definiead.
  • Defs:
    • Df: Oendlig liten ändrig i $f$
    • Dx: Oendlig liten ändrig i $x$
  • \overset{\bullet}f=f' !
• Egenskaper och regler
  • f deriverbar \Rightarrow f kontinuerlig. Obs! Inte alla kontinuerliga funktioner är deriverbara
  • Derivering är linjär avbildning: \left(\alpha f+\beta g\right)'=\alpha f'+\beta g'
  • Produkt regel (Leibniz): \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)
  • Sammansatt funktion: \left(f\circ g\right)'\left(x\right)=f'\circ g\left(x\right)g'\left(x\right)
  • Kjedje regel: (f(g(x)))'=f'(f(x))g'(x)
  • Division: \left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}
  • Ex: !\begin{align}f(x)=\mid x\mid\\f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}.\\f\text{ är inte deriverbar i }0.\\\lim_{x\to0+}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0+}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0+}\frac xx=1\\\lim_{x\to0-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0-}\frac{-x}x=-1\\\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f'(0)\text{ existerar inte-}\end{align}
  • Ex: \begin{align}\text{Leibniz regel}\\\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}h\\=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\=\lim_{h\to0}\left(g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\end{align}
  • Ex: \begin{align}h(x)=\frac1x\\h'(x)=-\frac1{x^2}\\h\circ g(x)=h(g(x))=\frac1{g(x)}\\(g\circ g)'(x)=\left(\frac1{g(x)}\right)^2\\=h'\circ g(x)g'(x)=h'(g(x))g'(x)=\frac{-1}{(g(x))^2}g'(x)\end{align}
• Standerd derivarives
  1. f(x)=c\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=0
  2. f(x)=n^n\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=nx^{n-1},\;n\in\mathbb{Z}
  3. f(x)=x^\alpha\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\alpha x^{\alpha-1},\;\alpha\in\mathbb{R},\;x>0
  4. f(x)=e^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=e^x
  5. f(x)=\ln\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=x^{-1},\;x\neq0
  6. f(x)=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\cos x
  7. f(x)=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=-\sin x
  8. f(x)=\tan x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\sec^2x=1+\tan^2x
  9. f(x)=a^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=a^x\ln a,\;a>0
  10. f(x)=\log_a\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=(x\ln a)^-1,\;a>0,\;x\neq0
• Implicit derviering
  • Ex: Bestäm tangent & normal ekvation till kurvan x^3y^2-x^2y^3=12 i punkten (2,-1) \begin{align}\text{Antag att }y=f(x)\text{ för någon funktion }f\text{ nära punkten }(2,-1)\\x^3(f(x))^2-x^2(f(x))^3=12\\\text{Derivera m.a.p. }x\\(x^3(f(x))^2)'-(x^2(f(x))^3)'=(12)'\\\Leftrightarrow(x^3)'(f(x))^2+x^3((f(x))^2)'\\-(x^2)'(f(x))^3-x^2((f(x))^3)'=0\\\text{(produkt regeln)}\\\Rightarrow3x^2(f(x))^2+x^3\times2f(x)f'(x)\\-2x(f(x))^3-x^2\times3(f(x))^2\times f'(x)=0\\\Leftrightarrow(2x^3f(x)-3x^2(f(x))^2)f'(x)\\=2x(f(x))^3-3x^2(f(x))^2\\\text{På punkten }(2,-1)\text{ har vi}\\y=f(2)=-1\\\text{sätt in }x=2\\\left(2\times2^3f(2)-3\times2^2\times(f(2))^2)f'(x)\right)=2\times2\times(f(2))^3-2\times2^2(f(2))^2\\\Leftrightarrow(-16-12)f'(2)=-4-12\Leftrightarrow f'(2)=\frac{-16}{-28}=\frac47\\\text{Tangent ekv: }y=f'(a)(x-a)+f(a)\\\Leftrightarrow y=\frac47(x-2)-1\Leftrightarrow4x-7y=15\\\text{Normal ekv: }y=-\frac1{f'(a)}(x-a)+f(a)\\\Leftrightarrow y=-\frac74(x-2)-1\Leftrightarrow7x+4y=10\end{align}
  • Kedje regeln: \begin{align}\frac{df(y(x))}{dx}=\frac{df(y(x))}{dy}\times\frac{dy(x)}{dx}\\(f(y(x)))'=f'(y(x))y'(x)\end{align}
• Invers
  • Theorem: Om f är inverterbar och deriverbar i punkten a så att f'(a)\neq0 då är inversen f^{-1} deriverbar i punkten b=f(a) med derivatan \left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac1{f'(a)}
  • Följdsats:
    • Theorem: \begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccot x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}
• Medelvärdessats
  • Theorem Om f är kontinuerlig på slutet intervall \left[a,b\right] och deriverbar på öppet intervall \left(a,b\right), dår fins det minst en punkt \xi\in\left(a,b\right) så att f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}!
• Egenskaper
  • Låt f vara deriverbar i intevallet $\left(a,b\right). följande gäller$
    1. f'(c)=0 för något c\in\left(a,b\right)\;\Rightarrow\;f har lokal extremvärde eller sadelpunkt i punkten x=c.
    2. f'(x)=0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=C, konstant funktion
    3. f'(x)=g'(x)\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=g(x)+C, Där C är någon konstant.
    4. f'(x)>0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x) är strängt växande i \left(a,b\right).
    5. f'(x)<0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x) är strängt avtagande i \left(a,b\right).
    6. f'(x)\geq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right) med likhet i ändligt antal punkter \Rightarrow f(x) är stängt växande i \left(a,b\right).
    7. f'(x)\leq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right) med likhet i ändligt antal punkter \Rightarrow f(x) är stängt avtagande i \left(a,b\right).
• Andra derivata
  • Betäkning: f''(x)
  • Definition: \frac{d^2f}{dx^2}(x):=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}(x)\right)
  • Ex: f(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x
  • Andra-derivatanstest: \begin{align}\text{Låt }f\text{ vara deriverbar i punkten }x_0\;\&\;f'(x_0)=0\\1.\;\;f''(x_0)>0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal minimum.}\\2.\;\;f''(x_0)<0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal maximum.}\\3.\;\;f''(x_0)=0\Rightarrow\text{Vet ej.}\end{align}