Analys-och-Linj-r-algibra/Komplexa tal.md

• Komplexa tal
  • Def: x^2+1=0 saknar reell lösning. Vi antar talet i\notin\mathbb{R} löser ekvationen, d.v.s i^2=-1
  • Mängd av komplexa talen: \mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}
  • Om z=a+bi,a=Re(z) och b=Im(z)
  • Konjugat: z=a+bi\Rightarrow\bar{z}=a-bi
  • Regler:
    • \bar{\bar{z}}=z
    • \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
    • \overline{z_1\times{z_2}}=\overline{z_1}\times{z_2}
  • Absolut belopp: \mid{z}\mid=\mid\overline{z}\mid=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{ om }z=a+bi
  • Triangelsformeln: \mid{z_1+z_2}\mid\leq\mid{z_1}\mid+\mid{z_2}\mid
  • Ex: \begin{align}z_1=2+3i\\z_2=2-i\\\\z_1+z_2=(2+3i)+(2-1)\\=4+2i\\\overline{z_1+z_2}=4-2i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}+\overline{z_2}=2-3i+2+i\\=3-2i\\\\z_1\times{z_2}=(2+3i)(2-i)\\=4-2i+6i-3i^2\\=4+4i+3\\=7+4i\\\overline{z_1\times{z_2}}=7-4i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}\times\overline{z_2}=(2-3i(2+i)\\=4+2i-6i-3i^2\\=4-2i+3\\=7-4i\end{align}
  • Ex 2: \begin{align}z=a+bi\\\overline{z}=a-bi\\z\times\overline{z}=(a+bi)(a-bi)\\=a^2-\left(bi\right)^2\\=a^2-b^2i^2\\=a^2+b^2\end{align}
  • Ex 3: \begin{align}\mid{z_1+z_2}\mid=\mid4+2i\mid\\=\sqrt{4^2+2^2}\\=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\\\mid{z_1}\mid=\mid2+3i=\sqrt{2^2+3^2}\\=\sqrt{13}\\\mid{z_2}\mid=\mid2-i\mid=\sqrt{2^2+(-i)^2}=\sqrt{5}\end{align}
  • Ex 4: \begin{align}\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{2-i}\\=\frac{2+3i}{2-i}\times\frac{2+i}{2+i}\\=\frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}\\=\frac{1+8i}{5}\\=\frac{1}{5}+\frac{8}{5}i\end{align}
• Grafer
  • !
  • !
• Polär form
  • Eulers formel: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
  • Varje komplex tal z=x+yi kan skrivas på pol'r form som z=re^{i\theta} där r=\sqrt{x^2+y^2} och arg(z)=\theta är så att \cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ och }\sin\theta=\frac{y}{x^2+y^2}
  • de Moivre: z=re^{i\theta}\Rightarrow z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))
  • Ex: Lös z^3=1+i\sqrt3 \begin{align}r=\sqrt{1^2+\sqrt3^2}\\=\sqrt{1+3}\\=\sqrt{4}\\=2\\\\\end{align}
  • Ex 2: \begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\end{align}