Analys-och-Linj-r-algibra/Derivata.md

• Derivata
  • Def: f är deriverbar i punkten a om $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}existerar.f'(x)=\frac{df}{dx}(a)=Df(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$är derivatan av f i punkten x=a. Funktionen f' är derivatan av f och deinieras som x\longmapsto f'(x) där det är definiead.
  • Defs:
    • Df: Oendlig liten ändrig i $f$
    • Dx: Oendlig liten ändrig i $x$
  • f[\bullet]=f'

!

• Egenskaper och regler
  • f deriverbar \Rightarrow f kontinuerlig. Obs! Inte alla kontinuerliga funktioner är deriverbara
  • Derivering är linjär avbildning: \left(\alpha f+\beta g\right)'=\alpha f'+\beta g'
  • Produkt regel (Leibniz): \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)
  • Sammansatt funktion: \left(f\circ g\right)'\left(x\right)=f'\circ g\left(x\right)g'\left(x\right)
  • Division: \left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}
  • Ex: !\begin{align}f(x)=\mid x\mid\\f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}.\\f\text{ är inte deriverbar i }0.\\\lim_{x\to0+}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0+}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0+}\frac xx=1\\\lim_{x\to0-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0-}\frac{-x}x=-1\\\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f'(0)\text{ existerar inte-}\end{align}
  • Ex: \begin{align}\text{Leibniz regel}\\\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}h\\=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\=\lim_{h\to0}\left(g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\end{align}
  • Ex: \begin{align}h(x)=\frac1x\\h'(x)=-\frac1{x^2}\\h\circ g(x)=h(g(x))=\frac1{g(x)}\\(g\circ g)'(x)=\left(\frac1{g(x)}\right)^2\\=h'\circ g(x)g'(x)=h'(g(x))g'(x)\frac{-1}{(g(x))^2}g'(x)\end{align}
• Standerd derivarives
  1. f(x)=c\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=0
  2. f(x)=n^n\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=nx^{n-1},\;n\in\mathbb{Z}
  3. f(x)=x^\alpha\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\alpha x^{\alpha-1},\;\alpha\in\mathbb{R},\;x>0
  4. f(x)=e^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=e^x
  5. f(x)=\ln\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=x^{-1},\;x\neq0
  6. f(x)=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\cos x
  7. f(x)=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=-\sin x
  8. f(x)=\tan x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\sec^2x=1+\tan^2x
  9. f(x)=a^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=a^x\ln a,\;a>0
  10. f(x)=\log_a\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=(x\ln a)^-1,\;a>0,\;x\neq0