Analys-och-Linj-r-algibra/Gräsvärde (1).md

• Gränsvärden
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar \delta>0 så att $\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gransvärde till f(x) då x får mot a. Betekning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow{a}, eller $\lim_{x\to{a}} f(x)=L$
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar M>0 så att$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gränsvärde till $f(x) då x går mot oändlighit. Beteckning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow\infty, eller $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$
• Remarks
  • Om det inte fins sådant L värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten a,
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}
  • Punkten a behöver inte vara i D_f.
  • Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.
  • Långsiktig beteende hos funktioner: $\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$
  • Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.
  • Om a int är "problempunkt" stoppar vi in x=a i $f(x)$
  • Def: "Problempunkt" t.ex \lim_{x\to 0}\frac1x går inte att direkt lösa på grund av division med $0$
• One sided limits
  • !
• Problem fall
  • \left[\frac00\right] form: Ex: \lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x
  • \left[\frac\infty\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}
  • \left[0\times\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid
  • \left[0^0\right] form: Ex: \lim_{x\to0+}x^x
  • \left[\infty^0\right] form Ex: \lim_{x\to\infty}