Analys-och-Linj-r-algibra/Gräsvärde (1).md

• Gränsvärden
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar \delta>0 så att $\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gransvärde till f(x) då x får mot a. Betekning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow{a}, eller $\lim_{x\to{a}} f(x)=L$
  • Def: Om för varje \epsilon>0 existerar M>0 så att$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$är talet L gränsvärde till $f(x) då x går mot oändlighit. Beteckning: f(x)\longrightarrow{L} då x\longrightarrow\infty, eller $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$
• Remarks
  • Om det inte fins sådant L värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten a,
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}
    • Ex: \begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}
  • Punkten a behöver inte vara i D_f.
  • Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.
  • Långsiktig beteende hos funktioner: $\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$
  • Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.
  • Om a int är "problempunkt" stoppar vi in x=a i $f(x)$
  • Def: "Problempunkt" t.ex \lim_{x\to 0}\frac1x går inte att direkt lösa på grund av division med $0$
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to5}f(x)=\lim_{x\to5}\frac1x=\frac15\\\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac1x=0\\\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac1x\text{ Existerar inte}\end{align}
• One sided limits
  • !
  • Ex: \begin{align}sgm(x)=\left\{\begin{aligned}1,\;x>0\\0,\;x=0\\-1,\;x<0\end{aligned}\right.\\D_{sgm}=\mathbb{R}\\\lim_{x\to0}sgm(x)\text{ Existerar inte}\\\lim_{x\to0^+}sgm(x)=\lim_{x\to0^+}1=1\\\lim_{x\to0^-}sgm(x)=\lim_{x\to0^-}(-1)=-1\end{align}
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to a}f(x)\text{ existerar om}\\\lim_{x\to a+}f(x)\&\lim_{x\to a-}f(x)\\\text{ Existerarf och }\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)\\\\f(x)=\sqrt{x}, D_f=\left[0,\infty\right)\\\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\sqrt{x}=0\\\\f(x)=\left\{\begin{aligned}x+1,\;x>0\\0,\;x=0\\2x+1,\ x<0\end{aligned}\right.\\D_f=\mathbb{R}\\\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x+1\\=0+1=1\\\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}2x+1\\=2\times0+1=0\\\lim_{x\to0}f(x)=1\end{align}
• Problem fall
  • \left[\frac00\right] form: Ex: \lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x
  • \left[\frac\infty\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}
  • \left[0\times\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid
  • \left[0^0\right] form: Ex: \lim_{x\to0+}x^x
  • \left[\infty^0\right] form Ex: \lim_{x\to\infty}x^{1/x}
  • \left[1^\infty\right] form: Ex: \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}
  • \left[\infty-\infty\right] form: \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)
    • Ex: $$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)\ =\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+5x+1}-\sqrt{x^2+3x-5}\right)\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\ =\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\cancel{x^2}+5x+1\right)-\left(\cancel{x^2}+3x-5\right)}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\ =\lim_{x\to\infty}\frac{2x+6}{\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}}\ =\lim_{x\to\infty}\frac{x(2+\frac6x)}{\sqrt{x^2}\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\ =\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x}(2+\frac6x)}{\cancel{x}\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\ =\lim_{x\to\infty}\frac{(2+\frac6x)}{\left(\sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x^2+3x-5}\right)}\ =\frac{2+0}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0-0}}=1 \end{align}$$
  • Ex: \begin{align}\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{0^2-3\times0+2}{0^2-1}=\frac{1+2}{1-1}=\frac{3}{0}\text{ Fins inget gränsvärde}\\\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\Longleftrightarrow\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac12\end{align}
  • Ex: \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{1-\frac1{x^2}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1
  • Ex:
• Räkneregler
  • Låt f och g vara funktioner så att $\lim_{x\to a}f(x)=A,\;\lim_{x\to a}=B,\;\mid{A}\mid<\infty,\;\mid{B}\mid<\infty$
  • \lim_{x\to a}\alpha(f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B
  • \lim_{x\to a}f(x)\times g(x)=A\times B
  • \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\text{ om }B\neq0
  • Theorem: Instängningsregel $\left.\begin{aligned}f(x)\leq g(x)\leq h(x),\;\forall x\\\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x)\end{aligned}\right\}\Rightarrow\lim_{x\to a}g(x)=L$
  • Theorem: f(X)\leq g(x),\;\forall x\Rightarrow\;\lim_{x\to a}f(x)\leq\lim_{x\to a}g(x)
  • Theorem: Sammansättningsregel $\left.\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=b\\\lim_{x\to b}g(x)=L\end{aligned}\right\}\Rightarrow\lim_{x\to a}g\circ f(x)=L$
  • Variabelbyte: \lim_{x\to a}g\circ f(x)=\lim_{t\to b}g(x)\text{ där }t=f(x)\longrightarrow b\text{ då }x\longrightarrow a
  • Ex: $$ \begin{align}\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x\-1\leq\sin\frac1x\leq1,; x\neq0\\Rightarrow-x^2\leq x^2\sin\frac1x\leq x^2\\lim_{x\to0}-x^2=0=\lim_{x\to0}x^2\\text{Enlight instängningsregel, }\\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0\\end{align}