08-10-25

LaTeX/Grafteori.md

@@ -0,0 +1,25 @@
+- Grafer
+	- **Def**: en graf $G$ är ett ordnat par av mängder: $G = (V,E)$ där $V\neq\emptyset, E=\{\{u,v\}:u,v\in V\}$
+		- Ex: $V=\{1,2,3,4,5\}, E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{4,5\}\}$
+	- $V$: Mängd av noder/hörn. $E$: mängd av kanter
+	- Notation: $u,v,...\in V$, $e,\{u,v\}...\in E$
+	- Grannar: Två noder u och v i $V$ är grannar om $\{u,v\}\in{E}$
+	- Riktad/oriktad graf: Kanterna är riktade/oriktade
+	- Multigraf: Om två hörn hat flera kanter ($E$ är multiset)
+	- Ögla: $Ev\in{V}:\{v,v\}\in{E}$
+	- Enkel graf: Ögelfri och med högst en kant mellan varje par
+	- Viktad graf: Kanter har längd
+- Gradtal
+	- **Def**: Gradtal $dv$ av ett hörn $v$ är antal grannar till $v$
+	- Theorem:
+		- Låt $G=(V,E)$ vara en graf. Då är $$\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid$$
+	- Ex. Enekel ögelfri graf $G$ vars alla noder har samma antal gradtal har $15$ kanter. Hur många noder kan $G$ ha? $$\begin{align*}\text{låt}\mid{A}\mid=n\\\text{enligth satsen}\\\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid = 2*15=30\\\Leftrightarrow{nd}=30\end{align*}$$
+	- Theorem:
+		- I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt
+- Kompletta grafer
+	- **Def**: Enkomplett graf är en graf där varje par av hörn har en kant.
+	- $\blacktriangleright$ Notation: $Kn$ är den kompletta grafen på n hörn.
+	- $\blacktriangleright$ Varje hörn har gradtal $n-1$.
+	- $\blacktriangleright$ Antal kanter: $$\left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$
+	- $\blacktriangleright$ Ex: Beräkna $\left|E_{K_15}\right|$ = $$\left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105$$
+	- 

LaTeX/Kombinatorik 2.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+
+$\frac{x}{y}$
+
+