17-10-25

.obsidian/workspace.json

@@ -13,12 +13,12 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "LaTeX/Fuktioner och Relationer.md",
+                "file": "LaTeX/Tenta Frågor.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Fuktioner och Relationer"
+              "title": "Tenta Frågor"
             }
           }
         ]
@@ -182,8 +182,9 @@
   },
   "active": "a2d3253219399e31",
   "lastOpenFiles": [
-    "LaTeX/Mängder 1.md",
     "LaTeX/Fuktioner och Relationer.md",
+    "LaTeX/Tenta Frågor.md",
+    "LaTeX/Mängder 1.md",
     "LaTeX/Grafteori.md",
     "LaTeX/Mängder 3.md",
     "LaTeX/Mängder 2.md",

LaTeX/Fuktioner och Relationer.md

@@ -22,8 +22,27 @@
 	- $f$ bijektiv $\Leftrightarrow{f}$ inverterbar
 	- $f,g$ bijektiv $\Rightarrow{g}\circ{f}$ bijektiv och $(g\circ{f})^{-1}=f^{-1}\circ{g^{-1}}$
 - Relationer
-	- **Def**: *Låt $A,B$ vara icke-tomma mänder. Enrelation $R$ från $A$ till $B$ är en delmängd av $A\times{B}$. Alltså, $R\in{P}(A\times{B})$*
+	- **Def**: *Låt $A,B$ vara icke-tomma mängder. En relation $R$ från $A$ till $B$ är en delmängd av $A\times{B}$. Alltså, $R\in{P}(A\times{B})$*
 	- Om $(a,b)\in{R}$ skrivs det som $aRb$. Annars $a\not{R}b$
 	- Alla funktioner är relationer med inte tvärtom.
 	- Om $A=B$, då är det en relation på $A$
-	- Ex: $$\begin{align*}\text{Låt }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\1.\text{Olikhetsrelationen på }A: xRy\text{ om }x\leq{y}\\2.\text{Delbathetsrelationen på }A:xRy\text{ om }x\mid{y}\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align*}\text{Låt }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\1.\text{Olikhetsrelationen på }A: xRy\text{ om }x\leq{y}\\2.\text{Delbathetsrelationen på }A:xRy\text{ om }x\mid{y}\end{align*}$$
+- Typer av Relationer:
+	- **Reflexiv**: $xRx$, $\forall{x}\in{A}$
+	- **Symmetrisk**: $xRy\Rightarrow{yRx}$
+	- **Anti-Symmetrisk**: $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x}=y$
+	- **Transitiv**: $xRy\wedge{yRz}\Rightarrow{xRz}$
+	- Ex:
+		- Låt $A=\mathbb{Z}$ och definiera $xRy$ om $[x]_3=[y]_3$: $$\begin{align*}[x]_3=[x]_3\Rightarrow{xRx}, \forall{x}\in\mathbb{Z}\\\text{Sum, R är spegling}:\\(x,y)\in{A}^2:xRy\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3\Leftrightarrow{[y]_3}=[x]_3\Rightarrow{yRx}\\\text{R är symetrisk}\end{align*}$$
+		- Låt $A=\mathbb{Z}$ och definiera $xRy$ om $x\leq{y}$: $$\begin{align*}x\leq{x},\forall{x}\in\mathbb{Z}\Rightarrow{xRx},\forall{x}\in{A}\\R\text{ är anti-symmetrisk}\\\\\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }x\leq{y}\wedge{y}\leq{z}\Rightarrow{x}\leq{z}\\R\text{ transitiv}\end{align*}$$
+		- Låt $A$ vara mängd av alla människor och definiera $xRy$ om $x$ är förälder till $y$: 
+		- 3 gotykliga: $$\begin{align*}\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3,[y]_3=[z]_3\\\Rightarrow[x]_3=[z]_3\Rightarrow{xRz}\\R\text{ är transitiv}\end{align*}$$
+- Ekvivalensrelationer och partitioner:
+	- **Def**: *En relation $R$ är en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.*
+	- Beteckning: $x\sim{y}$
+	- **Theorem**: *Varje ekvivalensrelation $R$ på $A$ partitionera mängden $A$ ekvivalensklasser $A_k$:$$A=\bigcup{A_k},A_i\cap{A_j}=\emptyset,i\neq{j}$$där $A_k$ är så att $x,y$ tillhör samma $A_k$ som $xRy$.*
+	- Ex: $$\begin{align*}R\text{ är spegling, summetrisk, transitiv}\\R\text{ en ekvivalensrelation}\\R\text{ partitionelan }A=\mathbb{Z}\\\text{i ekvivalensklassen}:\\E_0=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}\}\\=\{\dots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\dots\}\\E_1=\{n\in\mathbb{Z}:3\mid{n}-1\}\\=\{\dots,-2,1,4,\dots\}\\E_2=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}-2\}\\=\{\dots,-1,2,5,\dots\}\end{align*}$$
+- Rartialording och partiellt ordnad mängder (posets)
+	- **Def**: *En relation $R$ är en partialordning om den är reflexiv, anti-summetrisk och transitiv. En möngd med defierat partialordning kallas för en posets.*
+	- Betekning $x\preceq{y}$.
+	- Ex: Lexikografisk ordning, delbarhet, "delmängd i" osv. $$\begin{align*}\mathbb{Z}=E_0\cup{E_1}\cup{E_2},E_i\cap{E_j}=\emptyset,i\neq{j}\\\text{Ex: }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\xRy\text{ om }x\mid{y}\\R\text{ är reflexiv, anti-summetrisk, transitiv.}\\\text{R är partialordjing}\end{align*}$$

LaTeX/Tenta Frågor.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+9. RSA system i $\mathbb{Z}_{91}$$$\begin{align*}y=E(x)=[x^{31}]_{91}\\91=7\times13\\\oslash(91)=\oslash(7)\oslash{13}=6\times{12}=72\\\text{Krypteringsnyckle: }e=31\\\text{Avkrypteringsnyckel: }d\\ [ed]_{\oslash(91)}=[1]_{\oslash(91)}\\\text{Invets till }e\text{ i }\mathbb{Z}_{72}:\\72=2\times31+10\\31=3\times10+1\\1=31-3\times10\\=31-3\times(72-2\times31)\\=7\times31-3\times72\\\text{Avkrypteringsfunktionen är }x =D(y)=[y^7]_{91}\\\text{Avkrypterina }y=21\\x=D(y)=[21^7]_{91}\\=[21^7]_{91}\\=[7\times3\times21^6]_{7\times13}\\ [3\times21^6]_{13}=[3\times8^6]_{13}\\=[3\times2^{18}]_{13}=[3\times2^{12}\times2^6]_{13}\\=[3\times1\times2^4\times2^2]_{13}\text{ (FLS)}\\=[3\times3\times4]_{13}=[3\times12]_{13}\\ [3\times(-1)]_{13}=[-3]_{13}\\x=[7\times3\times21^6]_{91}\\=[7±times(-3)]_{91}=[-21]_{91}\\=[91-21]_{91}=[71]_{91}\\\text{Svar: (a) Avkrypteringdfunktion: }\\x=d(y)=[y^7]_{91}\\\text{Avkrypterade meddelandet är: }x=70\end{align*}$$
+10. REALFUN. Vilket radnummer står FUNERAL.$$\begin{align*}\text{#ord}\end{align*}$$
+11.