16-10-25

.obsidian/workspace.json

@@ -13,12 +13,12 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "LaTeX/Grafteori.md",
+                "file": "LaTeX/Fuktioner och Relationer.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Grafteori"
+              "title": "Fuktioner och Relationer"
             }
           }
         ]
@@ -182,9 +182,10 @@
   },
   "active": "a2d3253219399e31",
   "lastOpenFiles": [
+    "LaTeX/Mängder 1.md",
+    "LaTeX/Fuktioner och Relationer.md",
     "LaTeX/Grafteori.md",
     "LaTeX/Mängder 3.md",
-    "LaTeX/Mängder 1.md",
     "LaTeX/Mängder 2.md",
     "LaTeX"
   ]

LaTeX/Fuktioner och Relationer.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+- Funktioner
+	- **Notation**: $f: M \longrightarrow N, x \longmapsto f(x)$
+	- **Def**: *En funktion $f$ från en mängd $M$ till en annan mängd $N$ är en regel som tilldelar ett objekt i $N$ på ett entydigt sätt till varje objekt (så många som det går) i $M$.*
+	- **Def**: *Definitionsmängden till $f$ är en delmängd av $M$ där $f$ är definierad. Betecknas $D_f$.*
+	- **Def**: *Värdemängden till $f$ är en mängd av alla element i $N$ som bildas av $f$. Betecknas $V_f$.*
+	- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},n\mapsto{n^2}\\f(1)=1,f(2)=4,\dots\dots\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Q},n\longmapsto\frac{n}{n^2-4}\\f\text{ är inte definierad på }\{-2,2\}\\\text{sum }D_f=\mathbb{Z}\text{\\}\{-2,2\}\end{align*}$$
+- Sammansättning, Invers
+	- **Sammansättning**: $g\circ{f(x)}=g(f(x))$.
+		- Egenskaper: $V_{gof}\subseteq{V_g}, V_f\subseteq{D_g}$, associativ, ej kommutativ
+	- Ex: $f(x) = \sqrt{n}$ and $g(x)=(n+5)^2$. Bestämmer att $$\begin{align*}g\circ{f(x)}=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2=\mid{x}\mid+25\\f\circ{g(x)}=f(g(x))=f((x+5)^2)=f(x^2+5^2)=\sqrt{x^2+5^2}=\mid{x}\mid+\mid5\mid=\mid{x}\mid+5\end{align*}$$
+	- Definition: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)} = x$ och $f\circ{g(x)} = x$ för varje $f\in{D_f}$*
+	- Beteckning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
+	- Graf till inverse $f^{-1}$ är spegling av grafen till $f$ i linjen $y=x$
+	- $f$ är inverterbar $\Rightarrow{D_{f-1}}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
+	- **OPS**: $$f^{-1}(x) \neq (f(x))^{-1}$$
+	- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x+1}\\\text{Bestäm}f^{-1}\text{(om det fins)},D_{f^{-1}},D_f. V_{f^{-1}},V_f\\\text{Lös: }y=f(x)\Leftrightarrow{f^{-1}(y)}=x\text{ om }\exists{f^{-1}}\\y=f(x)=\frac{x}{x+1}, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow(x+1)y=x, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow y=x-xy=x(y-1),x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}=f^{-1}(y), x\neq-1,y\neq-1\end{align*}$$
+- Injektiv, Surjectiv, Bijektiv
+	- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Injektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ has högst en lösning för $x$
+	- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Surjektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ har minst en lösning för x, alltså $V_f=N$.
+	- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Bijektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ har exakt en lösning för $x$
+	- $f$ bijektiv $\Leftrightarrow{f}$ inverterbar
+	- $f,g$ bijektiv $\Rightarrow{g}\circ{f}$ bijektiv och $(g\circ{f})^{-1}=f^{-1}\circ{g^{-1}}$
+- Relationer
+	- **Def**: *Låt $A,B$ vara icke-tomma mänder. Enrelation $R$ från $A$ till $B$ är en delmängd av $A\times{B}$. Alltså, $R\in{P}(A\times{B})$*
+	- Om $(a,b)\in{R}$ skrivs det som $aRb$. Annars $a\not{R}b$
+	- Alla funktioner är relationer med inte tvärtom.
+	- Om $A=B$, då är det en relation på $A$
+	- Ex: $$\begin{align*}\text{Låt }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\1.\text{Olikhetsrelationen på }A: xRy\text{ om }x\leq{y}\\2.\text{Delbathetsrelationen på }A:xRy\text{ om }x\mid{y}\end{align*}$$