15-10-25_part-1

LaTeX/Grafteori.md

@@ -57,4 +57,16 @@
 		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt om man lägger en ny kant uppstår precis en cykel.*
 		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt om man tar bort en godtycklig kant, då fås en osammanhängande graf.*
 		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
-		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
+		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
+- Planära grafer
+	- **Def**: En **planär grad** är en graf som kan ritas på planet så att kanterna inte slär varandra utom i noderna. En sådan ritning är en **Plan inbäddning** av grafen
+	- Ex: $K_3, K_{3,2}, K_4$
+		- Varje plan graf delar planet i **regioner**(inklusive det oändliga yttre regioner) begränsar regionen.
+		- Gradtalet för en region är antalet kanter som begränsar regionen.
+		- För enkel, planär graf $G = (V,E)$ med minst tre hörn $\mid{E}\mid\leq{3}\mid{V}\mid-6$.
+		- För enkel, planär, sammanhängande, bipartit graf $G=(V,E)$ med mist tre hörn, $\mid{E}\mid\leq2\mid{V}\mid-4$.
+- Eulers sats om planära grafer
+	- Theorem: *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande för gradtalen $d_r$ av regioner: $$\sum_{r\in{R}}d_r=2\mid{E}\mid$$*
+	- Theorem (Eulers formel för planära grafer): *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande $$\mid{V}\mid-\mid{E}\mid+\mid{R}\mid=2$$*
+	- Ex: En plan sommanhängende graf $G$ delar planet i 6 regioner. Dess 6 hörn har antingen grad $3$ eller $4$. Hur många av dessa är av grad $3$, och hur många av grad $4$
+-