sep-2-14_54

LaTeX/Mängder 2.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+- Mängdoperation:
+	- Differens: $A\setminus\text{B} = \{x\in\mathcal{U}:x\in\text{A}\land\text{x}\not\in\text{B}\}$
+	- Symetrisk Differens $A\triangle\text{B}=\{x\in\mathcal{U}:x\in\text{A}\cup\text{B}\land\text{x}\not\in\text{A}\cap\text{B}\}$
+- Räkne regler:
+	- Dublekomplement: $\overline{\overline{A}} = A$
+	- Idempotens: $A\cup\text{A}=A$, $A\cap\text{A}=A$
+	- Identitet: $A\cup\emptyset=A$, $A\cap\emptyset=\emptyset$
+	- Dominans: $A\cup\mathcal{U}=\mathcal{U}$, $A\cap\emptyset=\emptyset$
+	- Kommutativ: $A\cup\text{B}\iff\text{B}\cup\text{A}$, $A\cap\text{B}\iff\text{B}\cap\text{A}$
+	- Associativ: $$
+\begin{align}
+(A\cup\text{B})\cup\text{C}\iff\text{A}\cup(B\cup\text{C})\iff\text{A}\cup\text{B}\cup\text{C} \\ (A\cap\text{B})\cap\text{C}\iff\text{A}\cap(B\cup\text{C})\iff\text{A}\cap\text{B}\cap\text{C}
+\end{align}
+$$
+		- Paranteser: om alla oprationer är $\cup$ eller $\cap$ spelar årdning ingen roll
+	- De Morgand: $\overline{(A\cup\text{B})}\iff\cap{A}\cap\overline{B}$, $\overline{(A\cap\text{B})}\iff\overline{A}\cup\overline{B}$
+		- Bevis: 
+$$
+\begin{align}
+x\in\overline{(A\cup\text{B})}\Rightarrow\text{x}\not\in\text{A}\cup\text{B}\Rightarrow
+\left\{
+\begin{aligned}
+&	\text{x}\notin\text{A} \\
+&	\text{x}\notin\text{B}
+\end{aligned}
+\right.
+\Rightarrow\text{x}\notin\overline{A}\cap\overline{B}\Rightarrow
+\left\{
+\begin{aligned}
+&	\text{x}\in\overline{A} \\
+&	\text{x}\in\overline{B}
+\end{aligned}
+\right.
+\Rightarrow
+x\in\overline{(A\cup\text{B})}\text{. Vissar att }\overline{}
+\end{align}
+$$

LaTeX/Mängder 3.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+- Kartesisk produkt:
+	- $A\cdot\text{X} \overset{\mathrm{def}}{=} \{(a,b): a \in A, b \in B\}$,
+	- 

notes-sep-3.txt

@@ -0,0 +1,31 @@
+Mänder 3:
+
+Kartesisk produkt:
+
+- A x B def= {(a,b): a € A, b € B}
+- OPS ordnad! (a,b) != (b,a)
+- Betekning A^n def= Ax...xA, n gåneger
+- Ex
+  - Z^2 def=ZxZ, R^2 def= RxR
+    - Z^2: Mängd av punkter på ett plan där alla punkter har heltas kordinater
+    - R^2: Hela planet
+  - A = {p,q}, B = {1,2,3}, AxB = {(p,1),(p,2),(p,3),(q,1),(q,2),(q,3)}
+  - Registrerings skyltar: {A,...,Z}^3 x {0,...,9}^3, t.ex 'JTH101'
+
+Kardinalitet:
+
+- Återuprepning |A| = antalet element i mängden A(Ändling eller inf)
+- |AxB| = |A||B|
+- Om A …c B, då är |A| < |B|
+- Om B är ändlig, och A c B, då är |A| < |B|
+- Ex
+  - |{A,...,Z}^3 x {0,...,9}^3| = |{A,...,Z}|^3 x |{0,...,9|^3 = 26^3 x 1000
+  - 2N = {2n : n € N} = {0, 2, 4,...} = mängd av jämna naturliga tal
+
+Kardinalitet av union, Inklusion-exklusinsprincipen:
+
+- Begrep: Disjunkta mängder A, B: A ↓u B = ø
+- Additions princip: A ↓u B = ø, då |AuB| = |A|+|B|
+- Ex
+  - A = {1,3}, B = {0, 2, 4}, |AuB| = |{0,1,2,3,4}| = 5
+