73 lines
3.5 KiB
Plaintext
73 lines
3.5 KiB
Plaintext
Mänger 1
|
|
|
|
Grundbegrepp:
|
|
- En Mänd är en lista av element
|
|
- Lister betäknas med stora boktäver som A = {1,2,3} eller A = {x: x|120} (Betyder alla X sådant att X möter ett krav, exampel X skall delas jämt med 120), element beteknas med små bokstäver
|
|
- Ej ordning, ej upprepning. {1,2,3} = {1,2} = {2,1}
|
|
- Betekning "€"(epilon): tillhör
|
|
- "|" betyder delas jämt med, (X % Y == 0)
|
|
- Väldefinerad: A = {5, 7, 9}, 5€A, "€" betyder "tillhör" som att 5 tillhör listan A
|
|
- Alla mänder(listor) skall vara tydligt definerade, för att unvika sitvationer där ett element kan både tillhöra och inte tillhöra en mänd
|
|
- Kardinalitet: |A| betyder läng(antal element) i listan A
|
|
- |A| är antigen heltal eller oendlig
|
|
- Example A = {1, 2, 3}, så är |A| = 3, medans B = {x : x|2}, så är |B| = oendlig
|
|
- Delmängd:
|
|
- Delmänd: "c" med understrek, används när vi inte kan bevisa att alla element i A fins i B
|
|
- Äkta delmänd: "c", används bara om alla emenent i A fins i B
|
|
- Om det går att bevisa att alla element i A find i B skall c änvändas och inte …c
|
|
- Om A …c B och B …c A, så är A = B
|
|
- Example
|
|
- A = {2, 3} B = {1, 2, 3}, så är A c B, Alla element i A find i B
|
|
- A = {3, 7, 9}, B = {3, 5, 7}, |A| = 3, |B| = 3, A !c B, eftersom inte alla element i A find i B, samt B !c A eftersom inte alla element i B fins i A
|
|
- A c B och B c A måste inte båda vara sanna, utan kan bara vara sanna om |A| == |B|, och A c B
|
|
- A = {3, 7, 9}, B = {3, 5, 7}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, då är A c C, B c C, men C !c A, C !c B, och A !c B
|
|
- Rita mänder
|
|
- Venn Diagram: <ref: venn_diagram.png>
|
|
- A är en mänd av elementen {5, 7, 9}, B är en mänd av {9, 5, 7, 3}, där C = {9, 5, 7} och D = {5, 7, 3}, där C c B, och D c B men inte C c B eller B c C
|
|
- Null-set/nollmänd/Empty set
|
|
- en tom lista, där |A| = 0
|
|
- "ø"(fii) = { }
|
|
- "ø" …c A, för varje mänd A
|
|
- A = {{ }}, då är A en mänd av ø, |A| = 1, A != ø
|
|
- Mänder är inte tal!
|
|
- Skriv inte A = 3, om fallet av kordinalitet skall det skrivas |A| = 3
|
|
- En mängd kan vara ett element
|
|
- Example A = {{1, 2}, {a, b}}, |A| = 2, {1,2} € A, 1 !€ A, {{1, 2}} c A
|
|
Talmängder:
|
|
- De natuliga talen: N = {0, 1, 2, ...}
|
|
- De hela talen: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
|
|
- De rationella talen: Q = {p/q: p,q € Z, q != 0}, Ex: 5/3
|
|
- De reela talen: R = Q u {de irratonella talen} Ex: irratinella tal pi, e, sqrt(2)
|
|
- De complexa talen: C = {x+iy : x,y € R, i^2 = -1}
|
|
- N c Z c Q c R c C
|
|
- u - eller, u(upp och ner) - och, c - delmänd till, € tillhör
|
|
Intervall:
|
|
- Alla tal mellan två uppgivna tal
|
|
- Slutet intervall: [a, b] = {x € R : a <= x <= b}
|
|
- Öppen intervall:
|
|
- (a, b) = ]a,b[ = {x € R : a < x < b}
|
|
- (-inf, b) = ]-inf, b[ = {x € R : x < b}
|
|
- (a, inf) = ]a, -ind[ = {x € R : a < x}
|
|
- (-inf, inf) = ]-inf, inf[ = R
|
|
- Halv öppen intervall:
|
|
- (a, b] = ]a, b] = {x € R : a < x <= b}
|
|
- [a, b) = [a, b) = {x € R : a <= x < b}
|
|
- (-inf, b] = ]-inf, b] = {x € R : x <= b}
|
|
- [a, inf) = [a, inf) = {x € R : a <= x}
|
|
Mängdoperationer:
|
|
- Grundmänd (Universual set): U
|
|
- tom mänd: ø = {}, ø …c A …c U för varje mängd A
|
|
- Union: A u B = {x € U|x € A eller x € B}
|
|
- Snitt: A ↓u B = {x € U|x € A och x € B}
|
|
- Komplement: A^c = ¨A = {x € U|x !€ A}
|
|
- ¨U = ø och ¨ø = U
|
|
- Differens: A\B = {a U B = (A u B)\(A ↓u B)
|
|
- <ref: grundmänd_venn_diagram.png>
|
|
- A = {5, 7, 3}
|
|
- B = {3, 5, 7}
|
|
- A u B = {3, 5, 7, 9}
|
|
- A ↓u B = {5, 7}
|
|
- U = {1, 3, 5, 7, 9}
|
|
- A^c = {1, 2}
|
|
- B^c = {1, 9}
|