disM/LaTeX/Grafteori.md

• Grafer
  • Def: en graf G är ett ordnat par av mängder: G = (V,E) där V\neq\emptyset, E=\{\{u,v\}:u,v\in V\}
    • Ex: V=\{1,2,3,4,5\}, E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{4,5\}\}
  • V: Mängd av noder/hörn. E: mängd av kanter
  • Notation: u,v,...\in V, e,\{u,v\}...\in E
  • Grannar: Två noder u och v i V är grannar om \{u,v\}\in{E}
  • Riktad/oriktad graf: Kanterna är riktade/oriktade
  • Multigraf: Om två hörn hat flera kanter (E är multiset)
  • Ögla: Ev\in{V}:\{v,v\}\in{E}
  • Enkel graf: Ögelfri och med högst en kant mellan varje par
  • Viktad graf: Kanter har längd
• Gradtal
  • Def: Gradtal dv av ett hörn v är antal grannar till v
  • Theorem:
    • Låt G=(V,E) vara en graf. Då är \sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid
  • Ex. Enekel ögelfri graf G vars alla noder har samma antal gradtal har 15 kanter. Hur många noder kan G ha? \begin{align*}\text{låt}\mid{A}\mid=n\\\text{enligth satsen}\\\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid = 2*15=30\\\Leftrightarrow{nd}=30\end{align*}
  • Theorem:
    • I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt
• Kompletta grafer
  • Def: Enkomplett graf är en graf där varje par av hörn har en kant.
  • \blacktriangleright Notation: Kn är den kompletta grafen på n hörn.
  • \blacktriangleright Varje hörn har gradtal n-1.
  • \blacktriangleright Antal kanter: \left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}
  • \blacktriangleright Ex: Beräkna \left|E_{K_15}\right| = \left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105