48 lines
5.4 KiB
Markdown
48 lines
5.4 KiB
Markdown
- Funktioner
|
|
- **Notation**: $f: M \longrightarrow N, x \longmapsto f(x)$
|
|
- **Def**: *En funktion $f$ från en mängd $M$ till en annan mängd $N$ är en regel som tilldelar ett objekt i $N$ på ett entydigt sätt till varje objekt (så många som det går) i $M$.*
|
|
- **Def**: *Definitionsmängden till $f$ är en delmängd av $M$ där $f$ är definierad. Betecknas $D_f$.*
|
|
- **Def**: *Värdemängden till $f$ är en mängd av alla element i $N$ som bildas av $f$. Betecknas $V_f$.*
|
|
- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},n\mapsto{n^2}\\f(1)=1,f(2)=4,\dots\dots\end{align*}$$
|
|
- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Q},n\longmapsto\frac{n}{n^2-4}\\f\text{ är inte definierad på }\{-2,2\}\\\text{sum }D_f=\mathbb{Z}\text{\\}\{-2,2\}\end{align*}$$
|
|
- Sammansättning, Invers
|
|
- **Sammansättning**: $g\circ{f(x)}=g(f(x))$.
|
|
- Egenskaper: $V_{gof}\subseteq{V_g}, V_f\subseteq{D_g}$, associativ, ej kommutativ
|
|
- Ex: $f(x) = \sqrt{n}$ and $g(x)=(n+5)^2$. Bestämmer att $$\begin{align*}g\circ{f(x)}=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2=\mid{x}\mid+25\\f\circ{g(x)}=f(g(x))=f((x+5)^2)=f(x^2+5^2)=\sqrt{x^2+5^2}=\mid{x}\mid+\mid5\mid=\mid{x}\mid+5\end{align*}$$
|
|
- Definition: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)} = x$ och $f\circ{g(x)} = x$ för varje $f\in{D_f}$*
|
|
- Beteckning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
|
|
- Graf till inverse $f^{-1}$ är spegling av grafen till $f$ i linjen $y=x$
|
|
- $f$ är inverterbar $\Rightarrow{D_{f-1}}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
|
|
- **OPS**: $$f^{-1}(x) \neq (f(x))^{-1}$$
|
|
- Ex: $$\begin{align*}f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x+1}\\\text{Bestäm}f^{-1}\text{(om det fins)},D_{f^{-1}},D_f. V_{f^{-1}},V_f\\\text{Lös: }y=f(x)\Leftrightarrow{f^{-1}(y)}=x\text{ om }\exists{f^{-1}}\\y=f(x)=\frac{x}{x+1}, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow(x+1)y=x, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow y=x-xy=x(y-1),x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}=f^{-1}(y), x\neq-1,y\neq-1\end{align*}$$
|
|
- Injektiv, Surjectiv, Bijektiv
|
|
- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Injektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ has högst en lösning för $x$
|
|
- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Surjektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ har minst en lösning för x, alltså $V_f=N$.
|
|
- **Def**: En Funktion $f:M\longrightarrow{N}$ är **Bijektiv** om $\forall{y}\in{N}$, ekvationen $f(x)=y$ har exakt en lösning för $x$
|
|
- $f$ bijektiv $\Leftrightarrow{f}$ inverterbar
|
|
- $f,g$ bijektiv $\Rightarrow{g}\circ{f}$ bijektiv och $(g\circ{f})^{-1}=f^{-1}\circ{g^{-1}}$
|
|
- Relationer
|
|
- **Def**: *Låt $A,B$ vara icke-tomma mängder. En relation $R$ från $A$ till $B$ är en delmängd av $A\times{B}$. Alltså, $R\in{P}(A\times{B})$*
|
|
- Om $(a,b)\in{R}$ skrivs det som $aRb$. Annars $a\not{R}b$
|
|
- Alla funktioner är relationer med inte tvärtom.
|
|
- Om $A=B$, då är det en relation på $A$
|
|
- Ex: $$\begin{align*}\text{Låt }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\1.\text{Olikhetsrelationen på }A: xRy\text{ om }x\leq{y}\\2.\text{Delbathetsrelationen på }A:xRy\text{ om }x\mid{y}\end{align*}$$
|
|
- Typer av Relationer:
|
|
- **Reflexiv**: $xRx$, $\forall{x}\in{A}$
|
|
- **Symmetrisk**: $xRy\Rightarrow{yRx}$
|
|
- **Anti-Symmetrisk**: $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x}=y$
|
|
- **Transitiv**: $xRy\wedge{yRz}\Rightarrow{xRz}$
|
|
- Ex:
|
|
- Låt $A=\mathbb{Z}$ och definiera $xRy$ om $[x]_3=[y]_3$: $$\begin{align*}[x]_3=[x]_3\Rightarrow{xRx}, \forall{x}\in\mathbb{Z}\\\text{Sum, R är spegling}:\\(x,y)\in{A}^2:xRy\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3\Leftrightarrow{[y]_3}=[x]_3\Rightarrow{yRx}\\\text{R är symetrisk}\end{align*}$$
|
|
- Låt $A=\mathbb{Z}$ och definiera $xRy$ om $x\leq{y}$: $$\begin{align*}x\leq{x},\forall{x}\in\mathbb{Z}\Rightarrow{xRx},\forall{x}\in{A}\\R\text{ är anti-symmetrisk}\\\\\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }x\leq{y}\wedge{y}\leq{z}\Rightarrow{x}\leq{z}\\R\text{ transitiv}\end{align*}$$
|
|
- Låt $A$ vara mängd av alla människor och definiera $xRy$ om $x$ är förälder till $y$:
|
|
- 3 gotykliga: $$\begin{align*}\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3,[y]_3=[z]_3\\\Rightarrow[x]_3=[z]_3\Rightarrow{xRz}\\R\text{ är transitiv}\end{align*}$$
|
|
- Ekvivalensrelationer och partitioner:
|
|
- **Def**: *En relation $R$ är en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.*
|
|
- Beteckning: $x\sim{y}$
|
|
- **Theorem**: *Varje ekvivalensrelation $R$ på $A$ partitionera mängden $A$ ekvivalensklasser $A_k$:$$A=\bigcup{A_k},A_i\cap{A_j}=\emptyset,i\neq{j}$$där $A_k$ är så att $x,y$ tillhör samma $A_k$ som $xRy$.*
|
|
- Ex: $$\begin{align*}R\text{ är spegling, summetrisk, transitiv}\\R\text{ en ekvivalensrelation}\\R\text{ partitionelan }A=\mathbb{Z}\\\text{i ekvivalensklassen}:\\E_0=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}\}\\=\{\dots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\dots\}\\E_1=\{n\in\mathbb{Z}:3\mid{n}-1\}\\=\{\dots,-2,1,4,\dots\}\\E_2=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}-2\}\\=\{\dots,-1,2,5,\dots\}\end{align*}$$
|
|
- Rartialording och partiellt ordnad mängder (posets)
|
|
- **Def**: *En relation $R$ är en partialordning om den är reflexiv, anti-summetrisk och transitiv. En möngd med defierat partialordning kallas för en posets.*
|
|
- Betekning $x\preceq{y}$.
|
|
- Ex: Lexikografisk ordning, delbarhet, "delmängd i" osv. $$\begin{align*}\mathbb{Z}=E_0\cup{E_1}\cup{E_2},E_i\cap{E_j}=\emptyset,i\neq{j}\\\text{Ex: }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\xRy\text{ om }x\mid{y}\\R\text{ är reflexiv, anti-summetrisk, transitiv.}\\\text{R är partialordjing}\end{align*}$$ |