vault backup: 2026-02-23 16:06:43

Egenvärderna (Kap 10).md

@@ -0,0 +1,61 @@
+**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom*
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Låt }A=\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-2
+\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\
+\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-2
+\end{bmatrix}-
+\begin{bmatrix}
+\lambda&0\\
+0&\lambda
+\end{bmatrix}=
+\begin{bmatrix}
+2-\lambda&-1\\
+3&-2-\lambda
+\end{bmatrix}\\
+\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=
+\begin{vmatrix}
+2-\lambda&-1\\
+3&-2-\lambda
+\end{vmatrix}=
+(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\
+=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\
+\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}
+\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$
+**OBS**:
+- *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$
+- *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$
+**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}
+13&4&8\\
+-6&-1&-4\\
+18&-6&-11
+\end{bmatrix}\\
+\text{Vi beräknar:}\\
+\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}
+13-\lambda&4&8\\
+-6&-1-\lambda&-4\\
+-18&-6&-11-\lambda
+\end{vmatrix}=\\
+(13-\lambda)\begin{vmatrix}
+-1-\lambda&-4\\
+-6&-11-\lambda
+\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}
+-6&-4\\
+-18&-11\lambda
+\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}
+-6&-1-\lambda\\
+-18&-6
+\end{vmatrix}\\
+(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\
+=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\
+=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\
+=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\
+(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\
+=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)
+\end{aligned}$$