vault backup: 2026-03-09 16:01:48

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -43,6 +43,8 @@ Ez
 Exemple
 Element
 Endast
+Enhetsmatrisen
+Egenvärdena
 linjärt
 ller
 linjär
@@ -130,6 +132,7 @@ enher
 enhet
 enheter
 efter
+egenvärdet
 med
 moam
 matris
@@ -169,6 +172,7 @@ möjliga
 matriserns
 medger
 matrises
+mämligen
 reella
 rella
 rektagulär

.obsidian/workspace.json

@@ -21,6 +21,34 @@
               "title": "Area och Basbyte"
             }
           },
+          {
+            "id": "ba7a1e5edb2a0c5f",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Linjär avbildning.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Linjär avbildning"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "4915fdc1e459c44b",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Grudlägande Matriser.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Grudlägande Matriser"
+            }
+          },
           {
             "id": "f156cc6a3efcf65c",
             "type": "leaf",
@@ -35,7 +63,8 @@
               "title": "Diagonalisering"
             }
           }
-        ]
+        ],
+        "currentTab": 2
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -194,10 +223,12 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "eb1bb5014b86fac7",
+  "active": "4915fdc1e459c44b",
   "lastOpenFiles": [
-    "Diagonalisering.md",
     "Area och Basbyte.md",
+    "Grudlägande Matriser.md",
+    "Linjär avbildning.md",
+    "Diagonalisering.md",
     "Matrisgeometri (Kap 5).md",
     "Egenvärderna (Kap 10).md",
     "Determinanter (Kap. 6).md",

Grudlägande Matriser.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+**I. Enhetsmatrisen**
+$$A=\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_1,\;u_2)$$
+- *$\det(A)=1,\;A^{-1}=A$*
+- *Egenvärdena är $+1,\;+1$*
+- *Två linjärt oberoende egenvektorer för egenvärdet $+1$, mämligen $(1,0),\;(0,1)$*
+**II. Likformig skalning**
+$$a=\begin{bmatrix}
+k&0\\0&k
+\end{bmatrix},\;k>0\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;ku_2)$$
+- *$\det(A)=k^2>0$ (area förändras, orienteringen blir samma)*
+- *Egenvärdena: $+k,\;+k$*
+- *Två linjärt oberoende egencektorer: $(1,0),\;(0,1)$*
+**III. Pressning**
+$$A=\begin{bmatrix}
+k&0\\0&\frac1k
+\end{bmatrix},\;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;\frac1k)$$
+- *\det(A)=+1$ (Både area och orientering förblir det samma)*
+- *Egenvärde är $k$ och $\frac1k$*
+- *Motsvarande egenvektor: $\begin{aligned}k\rightsquigarrow(1,0)\\\frac1k\rightsquigarrow(0,1)\end{aligned}$*

Linjär avbildning.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+**DEF**: *Funktionen $F$ kallas för en avbildning om $F:V_1\rightarrow{V_2}$ där $V_1,\;V_2$ är två  vektorer. Vidare kallas en avbilding för linjär om:*
+- *$F(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u})=F(\overrightarrow{u})+F(\overrightarrow{u})$*
+- *$F(\alpha\overrightarrow{u})=\alpha\times{F}(\overrightarrow{u})$*
+**EX**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då definierar $A$ en linjär avbilding från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$ genom följande: *$$\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\text{ (dvs. med hjälp av matrismultiplikation)}\\
+\left(\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4)=\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2\\u_3\\u_4
+\end{bmatrix}\right)
+\end{aligned}$$
+**EX**: *Vilken avbildning definieras av matrisen* $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\\
+\text{Räkna ut: }A\overrightarrow{u}=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+u_1+2u_2\\
+3u_1+4u_2
+\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\\
+F_A\left(\left(u_1,\;u_2\right)\right)=\\(u_1+2u_2,\;3u_1+4u_2)
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$
+**OBS**: *Följade bekanta begrepp är egenkligen linjära avbildningar*
+- *Derivatan: $\begin{aligned}\left(x^2+\sin(x)\right)'=\left(x^2\right)'+\left(\sin(x)\right)'=2x+\cos(x)\\\left(10x^2\right)'=10\times\left(x^2\right)'=10\times2x=20x\end{aligned}$*
+- *Den bestämnda integralen: $\begin{aligned}\int^1_0\left(x+x^2\right)dx=\int^1_0xdx+\int^1_0x^2dx=\dots\\\int^1_0(10\times{x})dx=10\times\int^1_ 0xdx=\dots\end{aligned}$*
+