vault backup: 2025-11-26 16:53:02

Derivata.md

@@ -35,4 +35,17 @@
 		- **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccot x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$
 - Medelvärdessats
 	- **Theorem** *Om $f$ är kontinuerlig på slutet intervall $\left[a,b\right]$ och deriverbar på öppet intervall $\left(a,b\right)$, dår fins det minst en punkt $\xi\in\left(a,b\right)$ så att* $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$![[MVT.png]]
-	- 
+- Egenskaper
+	- *Låt $f$ vara deriverbar i intevallet $\left(a,b\right). följande gäller$*
+		1. *$f'(c)=0$ för något $c\in\left(a,b\right)\;\Rightarrow\;f$ har lokal extremvärde eller sadelpunkt i punkten $x=c$.*
+		2. *$f'(x)=0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=C$, konstant funktion*
+		3. *$f'(x)=g'(x)\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=g(x)+C$, Där $C$ är någon konstant.*
+		4. *$f'(x)>0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt växande i $\left(a,b\right)$.*
+		5. *$f'(x)<0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
+		6. *$f'(x)\geq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt växande i $\left(a,b\right)$.*
+		7. *$f'(x)\leq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
+- Andra derivata
+	- **Betäkning**: $f''(x)$
+	- **Definition**: $\frac{d^2f}{dx^2}(x):=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}(x)\right)$
+	- **Ex**: $f(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x$
+	- **Andra-derivatanstest**: $$\begin{align}\text{Låt }f\text{ vara deriverbar i punkten }x_0\;\&\;f'(x_0)=0\\1.\;\;f''(x_0)>0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal minimum.}\\2.\;\;f''(x_0)<0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal maximum.}\\3.\;\;f''(x_0)=0\Rightarrow\text{Vet ej.}\end{align}$$