vault backup: 2026-03-02 16:01:40

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -39,4 +39,34 @@ A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
 \text{har en invers}
 \end{aligned}\\
 \Leftrightarrow\det(A)\neq0
-\end{aligned}$$
+\end{aligned}$$
+
+**Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}
+\text{Betrakta matriserna}\\
+I=\begin{bmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}\\
+\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\
+\left(\left.\begin{aligned}
+\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\
+\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)
+\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)
+\end{aligned}$$
+**DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)*
+**SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$*
+**BEVIS**: 
+*Endast fallet $2\times2$. Betrakta*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$$*$A$ är ortogonal medger:*
+-  *kolumn $1$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{11}+a^2_{21} = 1$*
+- *kolumn $2$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{12}+a^2_{22} = 1$*
+- kolumn $1$ och kolumn $2$ är ortogonala $a_{11}\times{a}_{12}+a_{21}\times{a}_{22}=0$
+*Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$*
+**Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$
+**DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.*
+**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}$$