vault backup: 2026-02-27 15:00:22

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -9,4 +9,34 @@
 **EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned}$$
 **EX**: $$\begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned}$$
 **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang ($\operatorname{rang}(A)$) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
-**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta }A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-1&-3\\2&-2&-2\end{bmatrix}.\text{Kolumnrum? Kärna? Rang? Nolldimension?}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\1&-1&-3&|&0\\2&-2&-2&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&-4&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}-\frac14R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&1&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\\\Rightarrow\begin{aligned}2\text{ pivåvariablar }\Rightarrow\operatorname{rang}(A)=2\\1\text{ fri variabel }\Rightarrow\operatorname{noll}(A)=1\end{aligned}\\\text{kolumnrummet är det höjdet av }\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\text{ och }\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix}\\\text{För att bestäma kärnan behöver vi lösa ekvationen i systemet }A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\text{ Löser ekvationstsystemet om: }\begin{aligned}1\times z=0\\z=0\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}y=t\\\text{Fri variable}\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}x-y+z=0\\x=t\end{aligned}\;=\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t\\t\\0\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\text{matrisens kärna är det linjära höjden av }\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+**SATS**: *(DIMENSIONSSATS). Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då gäller det att $\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$.*
+**BEVIS**:
+- *$\operatorname{rang}(A)$ ... antalet pivåvariabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+- *$\operatorname{noll}(A)$ ... antalet fria variabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+*Nör vi uppnår trappformen i gauss shcemat, då har varje kolomn antingen en ledande etta (pivåvariabel) eller inte (fri variabel). Det fins ingen tredhe möjlighet. Men då: *$$\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$$
+**OBS**:
+- *Om vi har ett exakt bestämnd ekvations system, då har ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{h}$ en entydig lösning prisis när $\operatorname{rang}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=0$. (Exakt bestämnd $\Leftrightarrow{A}$ är $m\times{n}$)*
+- *Om vi har ett över-bestämnd system (dvs. $A$ är $m\times{n}$ med $m>n$) då har vi en entydlig-lönsing om $\operatorname{ranf}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=m-n$*
+- *Om vi har ett under-bestämt system (dvs. $A$ är en $m\times{n}$ matris med $m<n$, Då har vi aldrig en entydlig-lösning ty att $\operatorname{rang}(A)<n$*
+**OBS**: *För exakt-bestämnda system har vi determinanten också.*$$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+\text{Ekvationsystemet}\\
+A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
+\text{entydlig lösning}
+\end{aligned}&\Leftrightarrow&\operatorname{rang}(A)=m&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{alla variabler}\\
+\text{är}\\
+\text{privåvariablar}
+\end{aligned}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{matrisens kolomner}\\
+\text{är linjärt oberoende}
+\end{aligned}\\
+\Updownarrow\\
+\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{l}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{matreisen }A\\
+\text{har en invers}
+\end{aligned}\\
+\Leftrightarrow\det(A)\neq0
+\end{aligned}$$