vault backup: 2026-03-02 16:01:40

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -19,6 +19,7 @@ Dominains
 Double
 Diagonal
 Determinant
+DIMENSIONSSATS
 Ett
 En
 Ex
@@ -72,6 +73,8 @@ leads
 längden
 lyfter
 linjära
+lösningarna
+lönsing
 ekvationssystem
 en
 ekvationer
@@ -113,6 +116,8 @@ egenvärde
 egenskap
 endast
 egenvektorer
+exakt
+entydig
 med
 moam
 matris
@@ -231,6 +236,9 @@ kolumnmatriser
 kombinatoner
 kolumnmatrisen
 kolunrummet
+kärna
+kärnrum
+kolomn
 är
 än
 ändpunkten
@@ -292,6 +300,8 @@ summa
 skriva
 sammanfaller
 shcema
+schemat
+shcemat
 av
 alla
 allmänt
@@ -328,6 +338,9 @@ are
 använda
 anta
 alltid
+antaliet
+antingen
+aldrig
 där
 det
 den
@@ -405,6 +418,8 @@ invers
 inverser
 index
 ich
+ibland
+ingen
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -531,6 +546,7 @@ funkar
 find
 finnas
 fortsätning
+fira
 term
 tal
 till
@@ -570,6 +586,8 @@ triangul
 tirangulär
 tänkas
 tvp
+tredhe
+ty
 ut
 utgöt
 under
@@ -586,6 +604,7 @@ unit
 uppfyller
 utvald
 upprepas
+uppn
 HL
 Hur
 HmE
@@ -641,6 +660,7 @@ bara
 beroende
 byten
 bort
+bestämnda
 Ur
 Under
 Uk
@@ -670,6 +690,7 @@ permutation
 parytor
 polynom
 produkten
+prisis
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -708,6 +729,8 @@ njh
 ndet
 nN
 nNeO
+nolldimension
+när
 Mist
 Mera
 Mindre
@@ -877,6 +900,7 @@ Nd
 Note
 Negatives
 Nollställena
+Nör
 WT
 Wn
 Wdj

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -40,3 +40,33 @@ A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
 \end{aligned}\\
 \Leftrightarrow\det(A)\neq0
 \end{aligned}$$
+
+**Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}
+\text{Betrakta matriserna}\\
+I=\begin{bmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}\\
+\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\
+\left(\left.\begin{aligned}
+\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\
+\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)
+\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)
+\end{aligned}$$
+**DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)*
+**SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$*
+**BEVIS**: 
+*Endast fallet $2\times2$. Betrakta*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$$*$A$ är ortogonal medger:*
+-  *kolumn $1$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{11}+a^2_{21} = 1$*
+- *kolumn $2$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{12}+a^2_{22} = 1$*
+- kolumn $1$ och kolumn $2$ är ortogonala $a_{11}\times{a}_{12}+a_{21}\times{a}_{22}=0$
+*Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$*
+**Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$
+**DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.*
+**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}$$