vault backup: 2026-03-06 14:55:41

Area och Basbyte.md

@@ -71,3 +71,12 @@ $\Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\time
 [ ]
 
 **FAKTA**: *Om $A$ är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen*
+
+**Diagonalisering**
+$$\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}$$
+**Heltalspotenser**
+*Hur skulle vi kunna räkna ut $A^{2026}$?*
+$$(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix}$$
+**EX**: *Beräkna $A^{2026}$ för $A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}$*$$\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$$