Analys-och-Linj-r-algibra/Vektorer.md

• DEF
  • I en rätviklig rektangle stämmer $\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$
  • \overrightarrow{u}=\left(1,2,3\right)=\left(\begin{aligned}1\\2\\3\end{aligned}\right)=\left[\begin{aligned}1\\2\\3\end{aligned}\right]
  • \mid\mid{V}\mid\mid Är längden av $V$
• Exemple
  • \begin{align}\text{Rektangeln }A,\;B,\;C,\;D\;\text{. Låt }E\text{ Vara punkten som delar diagonalen }\overline{AC}:\text{förhållandet }1:3\\\left(\text{dvs: }\overline{AE}:\overline{EC}=1:3\right)\\\text{Benämna }\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{h}=\overrightarrow{AD}\text{ Uttryc vektor }\overrightarrow{c}=\overrightarrow{EC}\text{ i termer av }\overrightarrow{a}\text{ och }\overrightarrow{h}\\\\\text{Vart ligger punkten }E\:\text{? Hur kan vi uttrycka }\overrightarrow{c}\text{ med hjälp av }\overrightarrow{a}\text{ och }\overrightarrow{h}\:\text{?}\\\overrightarrow{c}=\overrightarrow{EC}=\frac34\overrightarrow{AC}=\frac34\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac34\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h}\right)=\frac34\overrightarrow{a}+\frac34\overrightarrow{h}\end{align}
• Koordinatrummet $\mathbb{R}^m$
  • Mängden \mathbb{R}^m\;\left(\text{där }m\in\mathbb{N}\right) består av koordinattpunkter av längden m vars element är reella tal. Som skalärer tas $\mathbb{R}\text{(vanliga reela tal)}$
  • Hur funkar + och $\times$
    • \begin{align}\overrightarrow{u}=\left(u_1,u_2,u_3,\dots,u_m\right)\in\mathbb{R}^m\\\overrightarrow{v}=\left(v_1,v_2,\dots,y_m\right)\in\mathbb{R}^m\\\lambda\in\mathbb{R}\\\\\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(u_1+v_1,u_2+v_2,\dots,\lambda u_m\right)\\\text{OBS: }\left(1,2\right)+\left(3,4,5\right)\Rightarrow\text{Inte Definierat}\\\\\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(u_1v_1,u_2v_2\dots,u_mv_m\right)\\\begin{aligned}\overrightarrow{u}=\left(1,2,0\right)\\\overrightarrow{v}=\left(0,0,-2\right)\end{aligned}\Rightarrow\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(1\times0,2\times0,0\times\left(-2\right)\right)=\left(0,0,0\right)\\\text{Man kan i normala fall inte multiplecera vektorer!}\end{align}
    • \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^3\Rightarrow\overrightarrow{n},\overrightarrow{n}\in\mathbb{R}^3
      • Sats: Låt \overrightarrow{m},\:\overrightarrow{n}\in\mathbb{R}^3. Då gäller det att: \mid\mid\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{n}\mid\mid=\mid\mid\overrightarrow{m}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{n}\mid\mid\times\sin(\theta). (Där \theta är vinkeln mellan \overrightarrow{m} och \overrightarrow{n}). (Jämför: <\overrightarrow{u},\:\overrightarrow{v}>=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid\times\cos(\theta))
      • Prof: Vi börjar med: $\begin{aligned}\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid^2=<\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v},\:\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}>\stackrel{\text{(I)}}{=}<\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}\times\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)>\stackrel{\text{(II)}}{=}<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}>\overrightarrow{u}-<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\overrightarrow{v}>\\=<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}>\overrightarrow{u}>-<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\overrightarrow{v}>\\=<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}><\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{u}>-<\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}><\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2-\left(\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid\times\cos(\theta)\right)^2\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2\times\left(1-\cos^2(\theta)\right)\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2\times\sin^2(\theta)\end{aligned}$