2.4 KiB
Rita graf till f(x)=-\frac{\ln x}x
\begin{align}1.\;\;D_f=\left(0,\infty\right)\\2.\;\;\text{Lodrät asymptot }x=0\\\text{Vågrät asymtot }y=0\\3.\;\;\text{Stationära punkten:}\\f(x)=\frac{\ln x}x\\\text{derivera m.a.p. }x\\f'(x)=-\frac{x(\ln x)'-(\ln x)(x)'}{x^2}\\=-\frac{x\times\frac1x-(\ln x)(1)}{x^2}\\=\frac{\ln x-1}{x^2}\\\text{Stationär punkten uppfyller }f'(x)=0\\\Leftrightarrow\frac{\ln x-1}{x^2}=0\\\Leftrightarrow\ln x=1\\x=e\end{align}
Täkentabell
e |
|
|---|---|
\ln x-1 |
\;\;\;\;0\;\;+ |
x^2 |
+++ |
f'(x) |
-\;0\;\;+ |
f(x) |
\searrow\rightarrow\nearrow |
Enlight tabellen har f en lokal minimum punkt på \left(e,-\frac1e\right) Punkten är också en global minimum |
|
Graf! |
|
Visa att x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e} |
|
| Lösning: Från ovan: |
\begin{align}-\frac{\ln x}x\geq-\frac1e\\\Leftrightarrow\frac{\ln x}x\leq\frac1e\Leftrightarrow\ln x^{\frac1x}\leq\frac1e\Leftrightarrow x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e}\\\text{(ty ln är strängt vexande)}\end{align}
Koraste avtåndet av: \left(0,1\right) till kurvan x^2-y^2=1
\begin{align}\text{Lösn: Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till en punkt }\left(x,y\right)\text{ ges av}\\d)\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1}\\\text{Punkten }\left(x,y\right)\text{ ligger på kurvan om }x^2-y^2=1\\\text{Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till }\left(x,y\right)\text{ på kurvan är }\\d=\sqrt{1+y^2+y^2-2y+1}=\sqrt{2y^2-2y+2}\\\Rightarrow d^2=2y^2-2y+2\end{align}
Notera att d och d^2 har minimum värde på samma punkt. Definiera \begin{align}f(y)=d^2=2y^2-2y+2\\\text{Derivera m.a.p. }y\\f''(y)=4>0\\\text{Stationär punkt:}\\f'(x)=0\Leftrightarrow4y-2=0\Leftrightarrow y=\frac12\\f''(\frac12)=4>0\\\text{sum: }y=\frac12\text{ ger minimum värde för }f\\\text{sum: avståndet är minst då }y=\frac12\text{ Mista avståndet är}\\d_{min}=\sqrt{s\times\left(\frac12\right)^2-\cancel{2\times\frac12}+2}=\sqrt\frac32\\\text{Närmaste punkten}\\x-\left(\frac12\right)^2=1\Leftrightarrow x^2=\frac54\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt5}2\\\text{sum: }\left(-\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\&\left(\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\\\text{Kontroll: }\sqrt{\frac52+\left(\frac12-1\right)^2}=\sqrt{\frac54+\frac14}=+\sqrt\frac32\end{align}