Analys-och-Linj-r-algibra/Matriser.md

DEF: En matris med reella koefficienter är en samling av m\times{n} reella tal, uppdelade i m rader och n kolumner$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\end{aligned}$Antalet rader och kolumner utgör matrisens dimension: $m\times{n}=$"m gånger $n$"

Räknavis

• DEF: För två (eller flera) matriser vara samma dimension defimiras addition och skalär multiplikation positionsvis
• EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}-3&-3&2\\1&0&1\end{bmatrix},\lambda=3\\Rightarrow{}A+B=\begin{bmatrix}-2&-6&8\\1&3&6\end{bmatrix},3\times{A}=\begin{bmatrix}3&-9&12\\0&9&15\end{bmatrix}\end{aligned}
• \begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\text{Går ej att addera matriser i olika dimensioner}

Vanliga räkne regler gäller

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• \lambda\times(\mu{A)}=(\mu\lambda)*A
• \lambda(A+B)=\lambda{A}+\lambda{B}
• (\lambda+\mu)=\lambda{A}+\mu{A}

DEF: *Låt A vara en m\times{n} matris och B vara en n\times{p} matris. I så fall definieras matrisprodukten AB som *$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$Resultatet AB är en $m\times{p} matris$

EX: $\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$Transponering:

• DEF: Låt A vara en m\times{n} matris. Denna matrisen transponat A^T är den m\times{n} matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen A till kolumner.
• EX: om \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}
• Vilka räkneregler gäller?\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}
• DEF: En kvadratisk matris A kallas för symmetrisk om $A^T=A$
  • EX: \left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}
  • DEF: I en kvadratisk matris A kallas:
    • Element a_{ij} med i=j\Leftrightarrow diagonala element
    • Element a_{ij} med i<j\Leftrightarrow över-diagonala element
    • Element a_{ij} med i>j\Leftrightarrow under-diagonala element
    • EX: A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}
  • DEF: En kvadratisk matris A kallas för
    • Diagonal matris \Leftrightarrow alla över- och under-diagonala element är $0$
    • Över-triangulär matris \Leftrightarrow alla under-diagonala element är $0$
    • Under-triangulär matris \Leftrightarrow alla över-diagonala element är $0$
    • EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}
    • OBS:
      • Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska
      • Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris
      • Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris
      • EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}