37 lines
4.7 KiB
Markdown
37 lines
4.7 KiB
Markdown
**DEF**: *En matris med reella koefficienter är en samling av $m\times{n}$ reella tal, uppdelade i $m$ rader och $n$ kolumner*$$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\end{aligned}$$*Antalet rader och kolumner utgör matrisens dimension: $m\times{n}=$"$m$ gånger $n$"*
|
|
|
|
**Räknavis**
|
|
- **DEF**: *För två (eller flera) matriser vara samma dimension defimiras addition och skalär multiplikation positionsvis*
|
|
- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}-3&-3&2\\1&0&1\end{bmatrix},\lambda=3\\Rightarrow{}A+B=\begin{bmatrix}-2&-6&8\\1&3&6\end{bmatrix},3\times{A}=\begin{bmatrix}3&-9&12\\0&9&15\end{bmatrix}\end{aligned}$$
|
|
- $$\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\text{Går ej att addera matriser i olika dimensioner}$$
|
|
**Vanliga räkne regler gäller**
|
|
- $A+B=B+A$
|
|
- $(A+B)+C=A+(B+C)$
|
|
- $\lambda\times(\mu{A)}=(\mu\lambda)*A$
|
|
- $\lambda(A+B)=\lambda{A}+\lambda{B}$
|
|
- $(\lambda+\mu)=\lambda{A}+\mu{A}$
|
|
|
|
|
|
**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $B$ vara en $n\times{p}$ matris. I så fall definieras matrisprodukten $AB$ som *$$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$$*Resultatet $AB$ är en $m\times{p} matris$*
|
|
|
|
**EX**: $$\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$**Transponering**:
|
|
- **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen transponat $A^T$ är den $m\times{n}$ matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen $A$ till kolumner.*
|
|
- **EX**: *om* $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}$$
|
|
- **Vilka räkneregler gäller?**$$\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}$$
|
|
- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för symmetrisk om $A^T=A$*
|
|
- **EX**: $$\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}$$
|
|
- **DEF**: *I en kvadratisk matris $A$ kallas:*
|
|
- *Element $a_{ij}$ med $i=j\Leftrightarrow$ diagonala element*
|
|
- *Element $a_{ij}$ med $i<j\Leftrightarrow$ över-diagonala element*
|
|
- *Element $a_{ij}$ med $i>j\Leftrightarrow$ under-diagonala element*
|
|
- **EX**: $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}$$
|
|
- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för*
|
|
- *Diagonal matris $\Leftrightarrow$ alla över- och under-diagonala element är $0$*
|
|
- *Över-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla under-diagonala element är $0$*
|
|
- *Under-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla över-diagonala element är $0$*
|
|
- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
|
|
- **OBS**:
|
|
- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
|
|
- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
|
|
- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
|
|
- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$ |