vault backup: 2026-02-16 16:01:51

2026-02-16 16:01:51 +01:00
parent 5ab1e30edc
commit cb5814d1c7
4 changed files with 568 additions and 36 deletions
--- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt
+++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt
@@ -1,6 +1,22 @@
 Def
 DEF
 Den
+Derivata
+Defs
+Derivering
+Division
+Där
+Definition
+Denna
+Det
+Dd
+Definiera
+DpxL
+DOQMH
+Db
+DR
+Dominains
+Double
 Ett
 En
 Ex
@@ -8,6 +24,18 @@ Exakt
 Entydlig
 Eftersom
 EX
+Eller
+Egenskaper
+EV
+Ep
+Enlight
+Ekk
+Eo
+Ej
+Ef
+EcO
+EdNL
+Ez
 linjärt
 ller
 linjär
@@ -19,6 +47,24 @@ lösningar
 lösningsmängden
 lösningen
 löser
+liten
+lokal
+likhet
+linje
+linjer
+linjens
+leq
+leqslant
+left
+lim
+lu
+ln
+lx
+lE
+lL
+lhgh
+length
+leads
 ekvationssystem
 en
 ekvationer
@@ -38,6 +84,18 @@ ekvations
 ekvationser
 elemäntera
 ellement
+extrempumkt
+extrampunkter
+existerar
+extremvärde
+ex
+end
+eZ
+eDP
+eOM
+es
+equal
+equations
 med
 moam
 matris
@@ -51,6 +109,23 @@ mindre
 man
 multiplicerar
 mutipel
+matrisens
+matriser
+multiplikation
+matrisprodukten
+maximum
+mid
+mo
+mWg
+minimum
+mN
+mFphH
+mB
+mBR
+mk
+mZ
+measuring
+measured
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -61,6 +136,33 @@ raden
 räknar
 radoperationer
 raderna
+räkne
+regler
+regel
+regeln
+rummer
+right
+rMCC
+rvq
+rv
+rR
+rx
+rN
+rl
+rMH
+rM
+ra
+rL
+rV
+re
+rY
+rGd
+radian
+radius
+radians
+ration
+ranges
+relations
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -74,8 +176,20 @@ kolumn
 kan
 kolumnen
 kapitle
+kolumner
+kontinuerlig
+kontinuerliga
+kurvan
+kam
+kk
+kB
+kmc
+ktp
 är
 än
+ändpunkten
+ändrig
+ändligt
 samling
 stycken
 som
@@ -98,6 +212,24 @@ samt
 sista
 saknas
 saknar
+skalär
+slutet
+sadelpunkt
+strängt
+stängt
+sätt
+sigmerade
+spänns
+sum
+sL
+sk
+sfKFW
+sK
+sb
+sa
+sB
+subtended
+strictly
 av
 alla
 allmänt
@@ -109,6 +241,28 @@ antal
 antalet
 alal
 adderar
+addition
+avbildning
+avtagande
+anges
+align
+aww
+avt
+ac
+aO
+aB
+angles
+as
+angle
+at
+arc
+an
+associated
+and
+angled
+above
+also
+are
 där
 det
 den
@@ -116,13 +270,61 @@ de
 detta
 dessa
 delas
+dimension
+defimiras
+definieras
+derivata
+deriverbar
+derivatan
+deinieras
+definiead
+deriverbara
+derivarives
+derviering
+derivatanstest
+dant
+dvs
+derivator
+dots
+dd
+dp
+dpO
+dh
+dOL
+dpsj
+dB
+defined
+decreasing
 Varje
 Variablar
 Variabeln
 Vi
+Vanliga
+Värde
+Vad
+Volymen
+Vq
+VT
+Visa
+VN
+VF
 innerh
 inte
 int
+inverterbar
+inversen
+intervall
+intevallet
+info
+in
+iBX
+ij
+iW
+iTZ
+is
+identity
+increasing
+inverible
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -135,6 +337,16 @@ vara
 vore
 variablel
 varje
+värdet
+värde
+växande
+vertikala
+vektor
+välja
+volum
+vektorere
+vJ
+ve
 och
 om
 ordning
@@ -142,6 +354,21 @@ ocks
 oändliga
 omöjligt
 oändligt
+oändlig
+orning
+omgivning
+ordo
+oo
+ox
+ovan
+oB
+oEu
+oBX
+oBR
+of
+omitted
+on
+odd
 hat
 herstamade
 här
@@ -153,9 +380,26 @@ hohogena
 homogen
 homogena
 hjälp
+hBX
+hB
+hQ
+hJ
+hBf
+hence
 gemmesamma
 gauss
 gäller
+gränsvärde
+got
+gon
+ges
+grafen
+geometriska
+gg
+graf
+global
+gG
+general
 för
 förekommer
 första
@@ -167,6 +411,24 @@ fulla
 fall
 fast
 fr
+flera
+förändring
+funktioner
+funktion
+fins
+fuktionen
+figur
+formel
+frac
+form
+fzV
+fb
+fo
+for
+functions
+formula
+function
+fuction
 term
 tal
 till
@@ -176,16 +438,65 @@ trappform
 trappformen
 tv
 times
+tangent
+tangentelinjen
+tetraheden
+tetrahdeden
+tre
+tetrahden
+theta
+text
+to
+tabellen
+tEXtlogicalX
+tEXtlogicalY
+tEXtscreen
+tUWW
+tyL
+the
+triangle
+trigonometric
+tanges
 ut
 utgöt
 under
 upp
+uppdelade
+utgör
+underline
+uK
+uu
+uD
+uN
+uZ
+unit
 HL
 Hur
+HmE
+HaW
+HRU
+Half
 Jauss
+Jämför
+Jf
 Schema
 Saknar
 Sista
+Sammansatt
+Standerd
+Sats
+SWn
+SOOo
+St
+SlN
+Ss
+SO
+SI
+Sift
+Sum
+Solving
+Solve
+Similarly
 börjar
 bestämmer
 befiner
@@ -194,37 +505,255 @@ bestämd
 bekräftat
 bestämt
 byter
+bilder
+beskriva
+behöver
+begin
+bar
+begränsade
+bw
+bv
+bj
+by
 Ur
 Under
+Uk
+Uw
+UW
+UP
+UN
+UQ
+Usually
+Useful
 piv
 priv
 partikulära
 plats
+positionsvis
+punkt
+punkter
+punkten
+parameterformen
+pHYs
+pRaa
+pX
+pk
+plane
 Alla
 Antigen
 Avslutande
+Antalet
+Andra
+Area
+AC
+Ao
+Ad
+At
+Aa
+AT
 Oändligt
 Om
 OBS
 Oändliga
+ODE
+Oendlig
+Obs
+Oqj
+OL
+Op
 nga
 nollställen
 nu
 näst
 noll
 nollstild
+nger
+normal
+normalvektor
+neq
+njh
+ndet
+nN
+nNeO
 Mist
 Mera
 Mindre
 Men
 Man
+Medelvärdessats
+Maclarin
+My
+Mu
+MH
+MHU
 Lika
 Lösning
+Lokal
+Lokala
+Leibniz
+Lösn
+LzF
+LFM
+LF
+LFr
 Över
 Rad
 Radbyte
 Radmultiplikation
 Radaddition
+Räknavis
+Resultatet
+Rightarrow
+Ru
+Rita
+Rd
+Rg
+Riy
+RW
+RSM
+Radian
 Ty
+Theorem
+TODO
+Till
+TVV
+TcJUW
+Täkentabell
+TZ
+TIjj
+That
+The
+Then
 Falsk
-För
+För
+Funktionen
+Följdsats
+Fyll
+Funkar
+Felet
+Fz
+Fr
+For
+Global
+GD
+Graf
+GY
+GX
+Kritiska
+Kjedje
+Kedje
+Kl
+KKK
+Koraste
+KZ
+Primärfunktioner
+Produkt
+Paramaterformen
+Proff
+Polynom
+Polynomet
+PNG
+PC
+Punkten
+PI
+Pythagoras
+Periodicity
+Properties
+Integraler
+Inte
+Implicit
+Invers
+IHDR
+IDATx
+IaW
+IW
+Ix
+IDAT
+Iy
+IZV
+IEND
+It
+In
+Inverse
+Bestäm
+Betäkning
+Bmm
+BD
+öppet
+cos
+cancel
+ccc
+cE
+cL
+cR
+cr
+center
+circular
+corresponding
+xi
+xg
+xR
+xn
+xL
+xN
+xD
+xp
+ZPh
+ZW
+Zkj
+Zk
+ZWI
+ZD
+ZG
+ZWX
+qi
+qQ
+qcvv
+qbjW
+qa
+qt
+qV
+qbj
+Yw
+Yoy
+NW
+Notera
+NLM
+NL
+Nutth
+Nd
+Note
+Negatives
+WT
+Wn
+Wdj
+WH
+ji
+jXe
+jll
+jB
+jmm
+jS
+jjj
+XmE
+XG
+Xg
+QU
+QT
+QG
+yy
+yD
+yb
+wniNNNQQ
+wi
+wl
+wt
+wB
+wC
+wL
+which
+whereas
+Cd
+Complementary
+zf
+ze
--- a/.obsidian/workspace.json
+++ b/.obsidian/workspace.json
@@ -53,14 +53,14 @@
            "id": "cf5e20d35ba10881",
            "type": "leaf",
            "state": {
-              "type": "markdown",
+              "type": "split-diff-view",
              "state": {
-                "file": "Matriser.md",
-                "mode": "source",
-                "source": false
+                "aFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt",
+                "bFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt",
+                "aRef": ""
              },
-              "icon": "lucide-file",
-              "title": "Matriser"
+              "icon": "diff",
+              "title": "Diff: scanned_words.txt"
            }
          }
        ],
@@ -96,7 +96,7 @@
            "state": {
              "type": "search",
              "state": {
-                "query": "def",
+                "query": "transponering",
                "matchingCase": false,
                "explainSearch": false,
                "collapseAll": false,
@@ -225,29 +225,29 @@
  },
  "active": "cf5e20d35ba10881",
  "lastOpenFiles": [
-    "Ekvations System.md",
    "Matriser.md",
+    "Maclaurin.md",
+    "Trigonometri.md",
+    "TE1.png",
+    "Tenta Example.md",
+    "Pasted image 20251119134315.png",
    "Linjer.md",
+    "Derivata.md",
+    "Differential.md",
+    "Definitioner.md",
+    "Ekvations System.md",
    "Vektorer.md",
    "Primära Funktioner.md",
    "ODE.md",
-    "Maclaurin.md",
    "Komplexa tal.md",
    "Integraler.md",
    "Gräsvärde (1).md",
    "Grafer.md",
    "Funktioner Forts.md",
    "Funktioner.md",
-    "Differential.md",
-    "Derivata.md",
-    "Definitioner.md",
-    "Tenta Example.md",
    "Int1.png",
    "Def_graf1.png",
-    "TE1.png",
-    "Trigonometri.md",
    "MVT.png",
-    "Pasted image 20251119134315.png",
    "d_ex_1.png",
    "d1.png",
    "conflict-files-obsidian-git.md",
--- a/Derivata.md
+++ b/Derivata.md
@@ -32,7 +32,7 @@
 - Invers
 	- **Theorem**: *Om $f$ är inverterbar och deriverbar i punkten $a$ så att $f'(a)\neq0$ då är inversen $f^{-1}$ deriverbar i punkten $b=f(a)$ med derivatan* $$\left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac1{f'(a)}$$
 	- Följdsats:
-		- **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccot x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$
+		- **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$
 - Medelvärdessats
 	- **Theorem** *Om $f$ är kontinuerlig på slutet intervall $\left[a,b\right]$ och deriverbar på öppet intervall $\left(a,b\right)$, dår fins det minst en punkt $\xi\in\left(a,b\right)$ så att* $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$![[MVT.png]]
 - Egenskaper
--- a/Matriser.md
+++ b/Matriser.md
@@ -14,21 +14,24 @@

 **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $B$ vara en $n\times{p}$ matris. I så fall definieras matrisprodukten $AB$ som *$$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$$*Resultatet $AB$ är en $m\times{p} matris$*

-**EX**: $$\begin{aligned}
-\left.
-\begin{aligned}
-A=\begin{bmatrix}
-1&-3&4\\
-0&3&5
-\end{bmatrix}
-\text{ En $2\times3$ matris}\\
-B=\begin{bmatrix}
-3&-3&1&4\\
-1&0&1&-2\\
-2&-1&6&1
-\end{bmatrix}
-\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}
-1&-7&22&14\\
-14&-5&33&-1
-\end{bmatrix}
-\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$**Transponering**: 
+- **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen transponat $A^T$ är den $m\times{n}$ matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen $A$ till kolumner.*
+-  **EX**: *om* $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+- **Vilka räkneregler gäller?**$$\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}$$
+- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för symmetrisk om $A^T=A$*
+	- **EX**: $$\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *I en kvadratisk matris $A$ kallas:*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i=j\Leftrightarrow$ diagonala element*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i<j\Leftrightarrow$ över-diagonala element*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i>j\Leftrightarrow$ under-diagonala element*
+		- **EX**: $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för*
+		- *Diagonal matris $\Leftrightarrow$ alla över- och under-diagonala element är $0$*
+		- *Över-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla under-diagonala element är $0$*
+		- *Under-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla över-diagonala element är $0$*
+		- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+		- **OBS**:
+			- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
+			- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
+			- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
+			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$