vault backup: 2026-02-16 16:58:21

Matriser.md

@@ -34,4 +34,49 @@
 			- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
 			- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
 			- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
-			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *Den diagonala matrisen vars alla diagonala element är $1$ kallas för identitetsmatrisen och betänkas $I$.* 
+		- **EX**: $$
+\begin{aligned}
+I=\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}\\
+\shortparallel\;\;\;\;\;\\
+I_2\;\;\;\:
+\end{aligned},\;\;
+\begin{aligned}
+I=\begin{bmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{bmatrix}\\
+\shortparallel\;\;\;\;\;\;\;\;\\
+I_2\;\;\;\;\;\;\:
+\end{aligned}$$
+		- **OBS**: *Om $X$ är en $m\times{n}$ matris och $I$ identitersmatrisen av samma dimension, då gäller:* $$\begin{aligned}IX=XI=X&&\left(\underbracket{1}\times{x}=x\times\underbracket{1}=x\right)\end{aligned}$$
+		- **DEF**: *låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen invers matris $A^{-1}$ är den matrisen som uppfyller $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ (om en sådan matris $A^{-1}$ fins)* 
+			- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Har matrisen }A=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\text{ en invers?}\\\text{Om den har en invers }A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix},\text{ då ska }\\AA^{-1}=A^{-1}A=I\\\text{Vad är }AA^{-1}\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2z&2w\\0&0\end{bmatrix}\overset{?}{\text{=}}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\Rightarrow0=1\\\text{Detta går inte eftersom $0\neq1$}\\A\text{ har ingen invers}\end{aligned}$$
+		- **Räkneregler**: *(låt $A,B$ vara $m\times{x}$ matriser som har inverser*
+			- $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
+			- $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^T\right)^{-1}$
+			- $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$!!
+- **EX**: *Hur löser vi ekvationen $AX=B$, där $A,B$ kända $m\times{n}$ matriser, $X$ är okänd $m\times{n}$ matris?* $$
+\begin{aligned}\begin{aligned}
+AX=B\Leftrightarrow\left(\begin{aligned}
+X=BA^{-1}?\\
+X=A^{-1}B?
+\end{aligned}\right)\end{aligned}\\\begin{aligned}
+AX=B&\Rightarrow\underbracket{A^{-1}}AX=A^{-1}B\Rightarrow{IX=A^{-1}B}\Rightarrow{X=A^{-1}B}\\
+&\Rightarrow{AX\underbracket{A^{-1}}}=B\underbracket{A^{-1}}\Rightarrow???
+\end{aligned}\end{aligned}$$
+- **FAKTA**: *Om $A$ är em $m\times{n}$ matris och anta att $A$ har en invers. Då beräknas $A^{-1}$ genom: *$$\left(A\mid{I}\right)\longrightarrow\left(I\mid{A}\right),$$*dvs. Vi skriver $A$ som $VL$ och $I$ som $HL$ i ett gauss-chema, och sen genom radoperationer säkerställer att $I$ find på $VL$ till slut, och då är $A^{-1}$ kvar i $HL$.* 
+	- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}\text{. beräkna }A^{-1}\\\left(A\mid{I}\right)=\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&7&|&0&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+1&2\\
+3&4
+\end{bmatrix}\Rightarrow?\\
+A^{-1}=\begin{bmatrix}
+4&-2\\
+-3&1
+\end{bmatrix}?
+\end{aligned}$$