vault backup: 2026-02-16 16:58:21

2026-02-16 16:58:21 +01:00
parent cb5814d1c7
commit 3cc168969c
3 changed files with 96 additions and 59 deletions
--- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt
+++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt
@@ -17,6 +17,7 @@ Db
 DR
 Dominains
 Double
+Diagonal
 Ett
 En
 Ex
@@ -36,6 +37,8 @@ Ef
 EcO
 EdNL
 Ez
+Exemple
+Element
 linjärt
 ller
 linjär
@@ -65,6 +68,7 @@ lL
 lhgh
 length
 leads
+längden
 ekvationssystem
 en
 ekvationer
@@ -126,6 +130,8 @@ mk
 mZ
 measuring
 measured
+mellan
+matrisen
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -163,6 +169,9 @@ radians
 ration
 ranges
 relations
+rätviklig
+rektangle
+räkneregler
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -185,6 +194,8 @@ kk
 kB
 kmc
 ktp
+koordinattpunkter
+kvadratisk
 är
 än
 ändpunkten
@@ -230,6 +241,10 @@ sa
 sB
 subtended
 strictly
+stämmer
+skalärer
+symmetrisk
+symetriska
 av
 alla
 allmänt
@@ -263,6 +278,7 @@ angled
 above
 also
 are
+använda
 där
 det
 den
@@ -295,6 +311,8 @@ dpsj
 dB
 defined
 decreasing
+diagonala
+diagonal
 Varje
 Variablar
 Variabeln
@@ -308,6 +326,7 @@ VT
 Visa
 VN
 VF
+Vilka
 innerh
 inte
 int
@@ -347,6 +366,8 @@ volum
 vektorere
 vJ
 ve
+vars
+vinkeln
 och
 om
 ordning
@@ -400,6 +421,7 @@ graf
 global
 gG
 general
+genom
 för
 förekommer
 första
@@ -429,6 +451,7 @@ functions
 formula
 function
 fuction
+funkar
 term
 tal
 till
@@ -457,6 +480,9 @@ the
 triangle
 trigonometric
 tanges
+tas
+transponat
+triangulär
 ut
 utgöt
 under
@@ -497,6 +523,7 @@ Sum
 Solving
 Solve
 Similarly
+Som
 börjar
 bestämmer
 befiner
@@ -515,6 +542,7 @@ bw
 bv
 bj
 by
+best
 Ur
 Under
 Uk
@@ -586,6 +614,7 @@ My
 Mu
 MH
 MHU
+Mängden
 Lika
 Lösning
 Lokal
@@ -624,6 +653,8 @@ TIjj
 That
 The
 Then
+Transponering
+Transponanten
 Falsk
 För
 Funktionen
@@ -646,6 +677,7 @@ Kl
 KKK
 Koraste
 KZ
+Koordinatrummet
 Primärfunktioner
 Produkt
 Paramaterformen
@@ -659,6 +691,7 @@ PI
 Pythagoras
 Periodicity
 Properties
+Prof
 Integraler
 Inte
 Implicit
@@ -680,6 +713,7 @@ Betäkning
 Bmm
 BD
 öppet
+över
 cos
 cancel
 ccc
@@ -756,4 +790,5 @@ whereas
 Cd
 Complementary
 zf
-ze
+ze
+Är
--- a/.obsidian/workspace.json
+++ b/.obsidian/workspace.json
@@ -4,67 +4,24 @@
    "type": "split",
    "children": [
      {
-        "id": "9b8c02200aa5b353",
+        "id": "eec1dd4145fc2eac",
        "type": "tabs",
        "children": [
          {
-            "id": "9ec7a3d1ef5d43cc",
+            "id": "334286c6c273f693",
            "type": "leaf",
            "state": {
              "type": "markdown",
              "state": {
-                "file": "Vektorer.md",
+                "file": "Matriser.md",
                "mode": "source",
                "source": false
              },
              "icon": "lucide-file",
-              "title": "Vektorer"
-            }
-          },
-          {
-            "id": "c4448a6f2bd4eb31",
-            "type": "leaf",
-            "state": {
-              "type": "markdown",
-              "state": {
-                "file": "Linjer.md",
-                "mode": "source",
-                "source": false
-              },
-              "icon": "lucide-file",
-              "title": "Linjer"
-            }
-          },
-          {
-            "id": "ca10233d6e0048f7",
-            "type": "leaf",
-            "state": {
-              "type": "markdown",
-              "state": {
-                "file": "Ekvations System.md",
-                "mode": "source",
-                "source": false
-              },
-              "icon": "lucide-file",
-              "title": "Ekvations System"
-            }
-          },
-          {
-            "id": "cf5e20d35ba10881",
-            "type": "leaf",
-            "state": {
-              "type": "split-diff-view",
-              "state": {
-                "aFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt",
-                "bFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt",
-                "aRef": ""
-              },
-              "icon": "diff",
-              "title": "Diff: scanned_words.txt"
+              "title": "Matriser"
            }
          }
-        ],
-        "currentTab": 3
+        ]
      }
    ],
    "direction": "vertical"
@@ -137,7 +94,7 @@
            "state": {
              "type": "backlink",
              "state": {
-                "file": "Funktioner Forts.md",
+                "file": "Matriser.md",
                "collapseAll": false,
                "extraContext": false,
                "sortOrder": "alphabetical",
@@ -147,7 +104,7 @@
                "unlinkedCollapsed": true
              },
              "icon": "links-coming-in",
-              "title": "Backlinks for Funktioner Forts"
+              "title": "Backlinks for Matriser"
            }
          },
          {
@@ -185,17 +142,17 @@
            "state": {
              "type": "outline",
              "state": {
-                "file": "Funktioner Forts.md",
+                "file": "Matriser.md",
                "followCursor": false,
                "showSearch": false,
                "searchQuery": ""
              },
              "icon": "lucide-list",
-              "title": "Outline of Funktioner Forts"
+              "title": "Outline of Matriser"
            }
          },
          {
-            "id": "e616c86f78b96cf1",
+            "id": "2b769c95fc1b44fd",
            "type": "leaf",
            "state": {
              "type": "git-view",
@@ -223,20 +180,20 @@
      "obsidian-git:Open Git source control": false
    }
  },
-  "active": "cf5e20d35ba10881",
+  "active": "334286c6c273f693",
  "lastOpenFiles": [
+    "Vektorer.md",
+    "Linjer.md",
+    "Ekvations System.md",
    "Matriser.md",
    "Maclaurin.md",
    "Trigonometri.md",
    "TE1.png",
    "Tenta Example.md",
    "Pasted image 20251119134315.png",
-    "Linjer.md",
    "Derivata.md",
    "Differential.md",
    "Definitioner.md",
-    "Ekvations System.md",
-    "Vektorer.md",
    "Primära Funktioner.md",
    "ODE.md",
    "Komplexa tal.md",
--- a/Matriser.md
+++ b/Matriser.md
@@ -34,4 +34,49 @@
 			- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
 			- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
 			- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
-			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *Den diagonala matrisen vars alla diagonala element är $1$ kallas för identitetsmatrisen och betänkas $I$.* 
+		- **EX**: $$
+\begin{aligned}
+I=\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}\\
+\shortparallel\;\;\;\;\;\\
+I_2\;\;\;\:
+\end{aligned},\;\;
+\begin{aligned}
+I=\begin{bmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{bmatrix}\\
+\shortparallel\;\;\;\;\;\;\;\;\\
+I_2\;\;\;\;\;\;\:
+\end{aligned}$$
+		- **OBS**: *Om $X$ är en $m\times{n}$ matris och $I$ identitersmatrisen av samma dimension, då gäller:* $$\begin{aligned}IX=XI=X&&\left(\underbracket{1}\times{x}=x\times\underbracket{1}=x\right)\end{aligned}$$
+		- **DEF**: *låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen invers matris $A^{-1}$ är den matrisen som uppfyller $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ (om en sådan matris $A^{-1}$ fins)* 
+			- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Har matrisen }A=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\text{ en invers?}\\\text{Om den har en invers }A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix},\text{ då ska }\\AA^{-1}=A^{-1}A=I\\\text{Vad är }AA^{-1}\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2z&2w\\0&0\end{bmatrix}\overset{?}{\text{=}}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\Rightarrow0=1\\\text{Detta går inte eftersom $0\neq1$}\\A\text{ har ingen invers}\end{aligned}$$
+		- **Räkneregler**: *(låt $A,B$ vara $m\times{x}$ matriser som har inverser*
+			- $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
+			- $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^T\right)^{-1}$
+			- $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$!!
+- **EX**: *Hur löser vi ekvationen $AX=B$, där $A,B$ kända $m\times{n}$ matriser, $X$ är okänd $m\times{n}$ matris?* $$
+\begin{aligned}\begin{aligned}
+AX=B\Leftrightarrow\left(\begin{aligned}
+X=BA^{-1}?\\
+X=A^{-1}B?
+\end{aligned}\right)\end{aligned}\\\begin{aligned}
+AX=B&\Rightarrow\underbracket{A^{-1}}AX=A^{-1}B\Rightarrow{IX=A^{-1}B}\Rightarrow{X=A^{-1}B}\\
+&\Rightarrow{AX\underbracket{A^{-1}}}=B\underbracket{A^{-1}}\Rightarrow???
+\end{aligned}\end{aligned}$$
+- **FAKTA**: *Om $A$ är em $m\times{n}$ matris och anta att $A$ har en invers. Då beräknas $A^{-1}$ genom: *$$\left(A\mid{I}\right)\longrightarrow\left(I\mid{A}\right),$$*dvs. Vi skriver $A$ som $VL$ och $I$ som $HL$ i ett gauss-chema, och sen genom radoperationer säkerställer att $I$ find på $VL$ till slut, och då är $A^{-1}$ kvar i $HL$.* 
+	- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}\text{. beräkna }A^{-1}\\\left(A\mid{I}\right)=\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&7&|&0&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+1&2\\
+3&4
+\end{bmatrix}\Rightarrow?\\
+A^{-1}=\begin{bmatrix}
+4&-2\\
+-3&1
+\end{bmatrix}?
+\end{aligned}$$