vault backup: 2026-02-19 14:56:07

.obsidian/appearance.json

@@ -1,3 +1,4 @@
 {
-  "cssTheme": "Catppuccin"
+  "cssTheme": "Catppuccin",
+  "baseFontSize": 20
 }

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -18,6 +18,7 @@ DR
 Dominains
 Double
 Diagonal
+Determinant
 Ett
 En
 Ex
@@ -100,6 +101,8 @@ eOM
 es
 equal
 equations
+ekvationen
+em
 med
 moam
 matris
@@ -132,6 +135,7 @@ measuring
 measured
 mellan
 matrisen
+mängden
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -172,6 +176,7 @@ relations
 rätviklig
 rektangle
 räkneregler
+realla
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -196,6 +201,9 @@ kmc
 ktp
 koordinattpunkter
 kvadratisk
+kända
+kvar
+kvadratiska
 är
 än
 ändpunkten
@@ -245,6 +253,16 @@ stämmer
 skalärer
 symmetrisk
 symetriska
+skriver
+sen
+säkerställer
+slut
+samordningar
+skiljer
+standerd
+skulle
+summa
+skriva
 av
 alla
 allmänt
@@ -279,6 +297,7 @@ above
 also
 are
 använda
+anta
 där
 det
 den
@@ -313,6 +332,10 @@ defined
 decreasing
 diagonala
 diagonal
+dan
+determinant
+deferminanten
+determinanten
 Varje
 Variablar
 Variabeln
@@ -344,6 +367,10 @@ is
 identity
 increasing
 inverible
+identitetsmatrisen
+identitersmatrisen
+invers
+inverser
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -368,6 +395,7 @@ vJ
 ve
 vars
 vinkeln
+vanliga
 och
 om
 ordning
@@ -390,6 +418,9 @@ of
 omitted
 on
 odd
+okänd
+ordningen
+ojämt
 hat
 herstamade
 här
@@ -407,6 +438,7 @@ hQ
 hJ
 hBf
 hence
+ha
 gemmesamma
 gauss
 gäller
@@ -452,6 +484,7 @@ formula
 function
 fuction
 funkar
+find
 term
 tal
 till
@@ -483,6 +516,9 @@ tanges
 tas
 transponat
 triangulär
+talet
+talen
+termer
 ut
 utgöt
 under
@@ -496,6 +532,7 @@ uD
 uN
 uZ
 unit
+uppfyller
 HL
 Hur
 HmE
@@ -543,6 +580,11 @@ bv
 bj
 by
 best
+betänkas
+beräknas
+bara
+beroende
+byten
 Ur
 Under
 Uk
@@ -567,6 +609,9 @@ pRaa
 pX
 pk
 plane
+penmutationer
+permutation
+parytor
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -641,6 +686,9 @@ Riy
 RW
 RSM
 Radian
+Räkneregler
+Refererar
+Redan
 Ty
 Theorem
 TODO
@@ -665,6 +713,8 @@ Felet
 Fz
 Fr
 For
+FAKTA
+Fins
 Global
 GD
 Graf
@@ -724,6 +774,7 @@ cr
 center
 circular
 corresponding
+chema
 xi
 xg
 xR
@@ -769,6 +820,7 @@ jB
 jmm
 jS
 jjj
+jämnt
 XmE
 XG
 Xg

.obsidian/workspace.json

@@ -13,12 +13,26 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "Matriser.md",
+                "file": "Determinanter (Kap. 6).md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Matriser"
+              "title": "Determinanter (Kap. 6)"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "91afe3b628f39918",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Ekvations System.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Ekvations System"
             }
           }
         ]
@@ -182,11 +196,12 @@
   },
   "active": "334286c6c273f693",
   "lastOpenFiles": [
-    "Vektorer.md",
-    "Linjer.md",
     "Ekvations System.md",
+    "Determinanter (Kap. 6).md",
     "Matriser.md",
+    "Vektorer.md",
     "Maclaurin.md",
+    "Linjer.md",
     "Trigonometri.md",
     "TE1.png",
     "Tenta Example.md",

Determinanter (Kap. 6).md

@@ -0,0 +1,23 @@
+**DEF**: *En Determinant fins bara för kvadratiska matriser, t.ex: Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisens determinant $\det(A)$ är det realla talet man får:  *$$\det(A)=\sum_{\sigma\in{S_n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots{a_{n\sigma(n)}}$$
+- *Där $S_n$ mängden av alla penmutationer (samordningar) av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$*
+- *$\sigma$ är en permutation av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$*
+- *$\operatorname{sgn}(\sigma)$ är antigen $+1$ eller $-1$, beroende på antalet parytor som skiljer $\sigma$ från den vanliga ordningen*
+**EX** $$\begin{aligned}
+\text{Om vi har en $5\times5$ matris, då finns $5!=120$ sätt att omordna talen }1,\;2,\;3,\;4,\;5\\
+\text{Hur ser det termerna som motsvarar omordingen }\sigma=3-1-5-4-2. \text{iså fall är:}\\
+sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}a_{5\sigma(5)}=\underbracket{(-1)}\times a_{1\fbox{3}}a_{2\fbox{1}}a_{3\fbox{5}}a_{44}a_{5\fbox{2}}
+\end{aligned}$$
+*$\operatorname{sgn}$: Refererar till jämnt eller ojämt antal byten för att nå standerd ordning,*
+```cpp
+int sgn(int sigma_diff)
+{
+	return sigma_diff%2==0?1:-1;
+}
+```
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $2\times2$ matrisen } A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.\\\text{Det finns bata två sätt att omordna $1,\;2$: }1-2,\fbox{2}-\fbox{1}.\\\Rightarrow\text{determinatens summa har i det här fallet endast 2 termer}:\\\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}\times{a_{22}}+\underbracket{-1}\times{a_{12}}\times{a_{21}}\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $3\times3$ matrisen }\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\\\text{Vad är dem 6 sätt att omordna?}\\\left.\begin{matrix}1-2-3&:&\operatorname{sgn}:&+1\\1-3-2&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-1-3&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-3-1&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-1-2&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-2-1&:&\operatorname{sgn}:&-1\\\end{matrix}\right\}\begin{aligned}\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}a_{22}a_{33}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{11}}a_{23}a_{32}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{12}}a_{21}a_{33}+\\\underbracket{+1}\times{a_{12}}a_{23}a_{31}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{21}a_{32}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{22}a_{31}\end{aligned}\end{aligned}$$
+*Redan för $4\times4$ matriser skulle vi ha en summa med $24$ termer. Fins det något sätt att skriva deferminanten av $3\times3$ matrisen med hjälp av determinanten från $2\times2$ matrisen?*
+$$\begin{aligned}\det(A)&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}&-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}&+a_{12}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\&=a_{11}\times\underbrace{\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{11}}}&-a_{12}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{bmatrix}\right)}\\A_{12}}}&+a_{13}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{13}}}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times n$ matris. Imdermatrosem $A_{ij}$ är den $(m\times1)\times(n\times1)$ matrisen som fås genom att ta bort rad $i$ och kolumn $j$ från matrisen $A$.*
+**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}A_{11}=\begin{bmatrix}6&7&8\\10&11&12\end{bmatrix}\\A_{23}=\begin{bmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{bmatrix}\end{aligned}\end{aligned}$$
+**SATS**: *(RADUTVÄKLING): låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. För varje utvald index $i$ (mellan $1$ och $m$) gäller det att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}$$