vault backup: 2026-02-05 13:46:21
This commit is contained in:
@@ -37,47 +37,9 @@
|
||||
6. **Över-bestämd system/Saknar lösning**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-4y+2z&=&2\\x-z&=&3\\4y-3z&=&1\\3x-4y&=&1\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\1&0&-1&|&3\\0&4&-3&|&1\\3&-4&0&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_4-3R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&3&-3&|&1\\0&8&-6&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&-7\end{pmatrix}\end{aligned}$$
|
||||
- *I sista raden ser vi att $0x+0y+0z=-7$, samt i näst sista som säger $0x+0y+0z=0$ dessa är motsägelse fulla, altså saknas det en lösning*
|
||||
7. **Under-bestämd system/Entydlig lösning** *Falsk möjlighet! Ett under bestämt system har mindre antal ekvationer än antalet variabler. Men i så fall är det omöjligt att alal variabler vore pivåvariabler*
|
||||
8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
x-y-z&=&1\\
|
||||
x+z&=&2
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&-1&-1&|&1\\
|
||||
1&0&1&|&2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
|
||||
\xrightarrow{}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&-1&-1&|&1\\
|
||||
0&1&2&|&1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
- *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}
|
||||
z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
x-y-z&=&1\\
|
||||
x-y-z&=&2
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&-1&-1&|&1\\
|
||||
1&-1&-1&|&2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
R_2-R_1\rightarrow{R_2}
|
||||
\xrightarrow{}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&-1&-1&|&1\\
|
||||
0&0&0&|&1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x+z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&0&1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&1&2&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
|
||||
- *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2\end{aligned}$$
|
||||
9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x-y-z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&-1&-1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&0&0&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
|
||||
- *Sista ekvationer säger att $0=1\Rightarrow$ ekvationssystemet saknar lösning.*
|
||||
- **DEF**: *Ett ekvations system kallas homohen om hala $HL$ är noll* $$\text{EX: }\begin{aligned}
|
||||
x-y+z&=&0\\
|
||||
@@ -89,21 +51,7 @@ x-y+z&=&0\\
|
||||
- **För varje ekvations system med oändligt många lösningar kan lösningsmängden delas upp i två**: $$y''-2y'+y=x^2+1$$
|
||||
- *Den homogena lösningen: den som löser samma ekvationer, fast med $HL$ lika med $0$*
|
||||
- *Den partikulära lösningen: en lösning av ekvations systemet*
|
||||
- **EX**$$\begin{aligned}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
x-3y+2z&=&3\\
|
||||
x-2z&=&3\\
|
||||
-3y+4z&=&0\\
|
||||
3x-3y-2z&=&9
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
z=t,\;t\in\mathbb{R}\\
|
||||
y=\frac43\\
|
||||
x=2t+3
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
- **EX**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2z&=&3\\-3y+4z&=&0\\3x-3y-2z&=&9\end{aligned}\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y=\frac43\\x=2t+3\end{aligned}\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}\end{aligned}$$
|
||||
- **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
|
||||
- **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
|
||||
*Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*
|
||||
@@ -113,8 +61,13 @@ x=2t+3
|
||||
**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
|
||||
**Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
|
||||
\end{aligned}
|
||||
**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\-x-3y+2z+3u-v&=&-4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&3&-1&|&-4\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{}R_2\\R_3-R_1\rightarrow{}R_3\\R_4+R_1\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3+R_2\rightarrow{}R_3\\R_4-R_2\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&0&0&-3&3&|&-3\\0&0&0&2&-2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2\rightarrow{}R_2\\\frac13R_3\rightarrow{}R_3\\\frac12R_4\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&1&-1&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_4-R_3\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
|
||||
- *$z$ och $v$ är fria variablar i detta systemet*
|
||||
- $$\begin{aligned}
|
||||
n=s,\text{ där }s\in\mathbb{R}\text{ (frivariable)}\\
|
||||
u-n=1\Rightarrow{u=1-s}\\
|
||||
z=t,\text{ där }t\in\mathbb{R}\\
|
||||
y-2z-4v=4\Rightarrow{}y=2t+4s+4\\
|
||||
x+2y-u+3v=z\Rightarrow{}x=-2\left(2t+4s+4\right)+\left(1+s\right)-3s+2\\
|
||||
x=-4t-10s-5
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
Reference in New Issue
Block a user