vault backup: 2026-02-05 13:46:21

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -0,0 +1,230 @@
+Def
+DEF
+Den
+Ett
+En
+Ex
+Exakt
+Entydlig
+Eftersom
+EX
+linjärt
+ller
+linjär
+ledande
+lika
+läsa
+lösning
+lösningar
+lösningsmängden
+lösningen
+löser
+ekvationssystem
+en
+ekvationer
+ekvation
+ett
+ekvationssystemet
+ekvastions
+etta
+eller
+elementen
+element
+ekvationssystemets
+egenskaper
+ettan
+entydlig
+ekvations
+ekvationser
+elemäntera
+ellement
+med
+moam
+matris
+minst
+motsvarar
+motsvarande
+medans
+motsägelse
+möjlighet
+mindre
+man
+multiplicerar
+mutipel
+reella
+rella
+rektagulär
+rader
+refuserats
+rad
+raden
+räknar
+radoperationer
+raderna
+koefficienter
+konstant
+koeffienter
+koefiencer
+kallad
+kolomnvektor
+koefficienterma
+kolonnvektor
+kallas
+kolumn
+kan
+kolumnen
+kapitle
+är
+än
+samling
+stycken
+som
+st
+ser
+schema
+samlas
+sammling
+system
+sin
+successivt
+senare
+sig
+systemet
+sampt
+säger
+skall
+samma
+samt
+sista
+saknas
+saknar
+av
+alla
+allmänt
+annat
+antigen
+att
+alts
+antal
+antalet
+alal
+adderar
+där
+det
+den
+de
+detta
+dessa
+delas
+Varje
+Variablar
+Variabeln
+Vi
+innerh
+inte
+int
+variabler
+vatiabler
+vatiable
+variablar
+vi
+variabel
+variabeln
+variable
+vara
+vore
+variablel
+varje
+och
+om
+ordning
+ocks
+oändliga
+omöjligt
+oändligt
+hat
+herstamade
+här
+häramde
+har
+homohen
+hala
+hohogena
+homogen
+homogena
+hjälp
+gemmesamma
+gauss
+gäller
+för
+förekommer
+första
+följande
+fria
+fri
+fott
+fulla
+fall
+fast
+fr
+term
+tal
+till
+tillhör
+tillhörande
+trappform
+trappformen
+tv
+times
+ut
+utgöt
+under
+upp
+HL
+Hur
+Jauss
+Schema
+Saknar
+Sista
+börjar
+bestämmer
+befiner
+bestämnd
+bestämd
+bekräftat
+bestämt
+byter
+Ur
+Under
+piv
+priv
+partikulära
+plats
+Alla
+Antigen
+Avslutande
+Oändligt
+Om
+OBS
+Oändliga
+nga
+nollställen
+nu
+näst
+noll
+nollstild
+Mist
+Mera
+Mindre
+Men
+Man
+Lika
+Lösning
+Över
+Rad
+Radbyte
+Radmultiplikation
+Radaddition
+Ty
+Falsk
+För

.obsidian/workspace.json

@@ -48,9 +48,23 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Ekvations System"
             }
+          },
+          {
+            "id": "cf5e20d35ba10881",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Ekvations System.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Ekvations System"
+            }
           }
         ],
-        "currentTab": 2
+        "currentTab": 3
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -209,10 +223,11 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "ca10233d6e0048f7",
+  "active": "cf5e20d35ba10881",
   "lastOpenFiles": [
-    "Linjer.md",
+    "Untitled.md",
     "Ekvations System.md",
+    "Linjer.md",
     "Vektorer.md",
     "Primära Funktioner.md",
     "ODE.md",

Ekvations System.md

@@ -37,47 +37,9 @@
 	6. **Över-bestämd system/Saknar lösning**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-4y+2z&=&2\\x-z&=&3\\4y-3z&=&1\\3x-4y&=&1\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\1&0&-1&|&3\\0&4&-3&|&1\\3&-4&0&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_4-3R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&3&-3&|&1\\0&8&-6&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&-7\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 		- *I sista raden ser vi att $0x+0y+0z=-7$, samt i näst sista som säger $0x+0y+0z=0$ dessa är motsägelse fulla, altså saknas det en lösning*
 	7. **Under-bestämd system/Entydlig lösning** *Falsk möjlighet! Ett under bestämt system har mindre antal ekvationer än antalet variabler. Men i så fall är det omöjligt att alal variabler vore pivåvariabler*
-	8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}
+	8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x+z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&0&1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&1&2&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
-\begin{aligned}
+		- *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2\end{aligned}$$
-x-y-z&=&1\\
+	9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x-y-z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&-1&-1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&0&0&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
-x+z&=&2
-\end{aligned}
-\Rightarrow
-\begin{pmatrix}
-1&-1&-1&|&1\\
-1&0&1&|&2
-\end{pmatrix}
-\begin{aligned}
-R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
-\xrightarrow{}
-\end{aligned}
-\begin{pmatrix}
-1&-1&-1&|&1\\
-0&1&2&|&1
-\end{pmatrix}
-\end{aligned}$$
-		- *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}
-z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2
-\end{aligned}$$
-	9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}
-\begin{aligned}
-x-y-z&=&1\\
-x-y-z&=&2
-\end{aligned}
-\Rightarrow
-\begin{pmatrix}
-1&-1&-1&|&1\\
-1&-1&-1&|&2
-\end{pmatrix}
-\begin{aligned}
-R_2-R_1\rightarrow{R_2}
-\xrightarrow{}
-\end{aligned}
-\begin{pmatrix}
-1&-1&-1&|&1\\
-0&0&0&|&1
-\end{pmatrix}
-\end{aligned}$$
 		- *Sista ekvationer säger att $0=1\Rightarrow$ ekvationssystemet saknar lösning.*
 - **DEF**: *Ett ekvations system kallas homohen om hala $HL$ är noll* $$\text{EX: }\begin{aligned}
 x-y+z&=&0\\
@@ -89,21 +51,7 @@ x-y+z&=&0\\
 - **För varje ekvations system med oändligt många lösningar kan lösningsmängden delas upp i två**: $$y''-2y'+y=x^2+1$$
 	- *Den homogena lösningen: den som löser samma ekvationer, fast med $HL$ lika med $0$*
 	- *Den partikulära lösningen: en lösning av ekvations systemet*
-	- **EX**$$\begin{aligned}
+	- **EX**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2z&=&3\\-3y+4z&=&0\\3x-3y-2z&=&9\end{aligned}\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y=\frac43\\x=2t+3\end{aligned}\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}\end{aligned}$$
-\begin{aligned}
-x-3y+2z&=&3\\
-x-2z&=&3\\
--3y+4z&=&0\\
-3x-3y-2z&=&9
-\end{aligned}
-\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}
-\begin{aligned}
-z=t,\;t\in\mathbb{R}\\
-y=\frac43\\
-x=2t+3
-\end{aligned}
-\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}
-\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
 *Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*
@@ -113,8 +61,13 @@ x=2t+3
 **Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
 **Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$
 
-**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}
+**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\-x-3y+2z+3u-v&=&-4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&3&-1&|&-4\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{}R_2\\R_3-R_1\rightarrow{}R_3\\R_4+R_1\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3+R_2\rightarrow{}R_3\\R_4-R_2\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&0&0&-3&3&|&-3\\0&0&0&2&-2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2\rightarrow{}R_2\\\frac13R_3\rightarrow{}R_3\\\frac12R_4\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&1&-1&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_4-R_3\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
-\begin{aligned}
+- *$z$ och $v$ är fria variablar i detta systemet*
-
+- $$\begin{aligned}
-\end{aligned}
+n=s,\text{ där }s\in\mathbb{R}\text{ (frivariable)}\\
+u-n=1\Rightarrow{u=1-s}\\
+z=t,\text{ där }t\in\mathbb{R}\\
+y-2z-4v=4\Rightarrow{}y=2t+4s+4\\
+x+2y-u+3v=z\Rightarrow{}x=-2\left(2t+4s+4\right)+\left(1+s\right)-3s+2\\
+x=-4t-10s-5
 \end{aligned}$$