vault backup: 2026-02-16 16:01:51

Matriser.md

@@ -14,21 +14,24 @@
 
 **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $B$ vara en $n\times{p}$ matris. I så fall definieras matrisprodukten $AB$ som *$$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$$*Resultatet $AB$ är en $m\times{p} matris$*
 
-**EX**: $$\begin{aligned}
-\left.
-\begin{aligned}
-A=\begin{bmatrix}
-1&-3&4\\
-0&3&5
-\end{bmatrix}
-\text{ En $2\times3$ matris}\\
-B=\begin{bmatrix}
--3&-3&1&4\\
-1&0&1&-2\\
-2&-1&6&1
-\end{bmatrix}
-\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}
-1&-7&22&14\\
-14&-5&33&-1
-\end{bmatrix}
-\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$**Transponering**: 
+- **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen transponat $A^T$ är den $m\times{n}$ matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen $A$ till kolumner.*
+-  **EX**: *om* $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+- **Vilka räkneregler gäller?**$$\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}$$
+- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för symmetrisk om $A^T=A$*
+	- **EX**: $$\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *I en kvadratisk matris $A$ kallas:*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i=j\Leftrightarrow$ diagonala element*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i<j\Leftrightarrow$ över-diagonala element*
+		- *Element $a_{ij}$ med $i>j\Leftrightarrow$ under-diagonala element*
+		- **EX**: $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}$$
+	- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för*
+		- *Diagonal matris $\Leftrightarrow$ alla över- och under-diagonala element är $0$*
+		- *Över-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla under-diagonala element är $0$*
+		- *Under-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla över-diagonala element är $0$*
+		- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+		- **OBS**:
+			- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
+			- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
+			- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
+			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$